爱因斯坦75论相对性原理所要求的能量的惯性
爱因斯坦75论相对性原理所要求的能量的惯性
爱因斯坦第三篇论述质能方程的论文《论相对性原理所要求的能量的惯性》正文分为四部分，第一部分题为《关于一个受到外力做匀速平移的刚体的动能》，在这一部分，爱因斯坦考察了带电刚体在接受电动力前后动能的变化，指出接受电动力的刚体的动能比以同样速度运动的但不受任何力的同样物体的动能大。
首先，由静系考察，一个正在以速度υ、沿x轴坐标增加的方向做匀速平移的刚体的动能K0为公式1：
K0=μV2[1/√（1-υ2/V2）-1]
（注：狭义相对论论文《论动体的电动力学》第十部分《(缓慢加速的)电子的动力学》中推导的电子动能方程，本作《爱因斯坦48》中的方程49。）
将上述的刚体变为带电刚体，并施加电磁场力后，在时间t0到t1之间，电磁力场传递给刚体的能量变化△E为公式2：
ΔE=∫dt∫υX·ρ/（4π）dxdydz，（时间积分上下限为t1，t0）
其中，空间积分遍及整个刚体，（X，Y，Z）表示电力的矢量，ρ=∂X/∂x+∂Y/∂y+∂Z/∂z，表示电密度的4π倍。
由动系（注：静系和动系的划分，以及坐标符号都与论文《论动体的电动力学》相同），即与刚体相对静止的坐标系考察，根据洛伦兹变换，可得电磁力场传递给刚体的能量变化△E为公式3：
ΔE=∫∫βυX´·ρ´/（4π）dξdηdζ
其中，β为洛伦兹因子[1-（υ/V）2]-0.5。
因为从动系考察，即从一个同物体一起运动的坐标系观测，作用在物体上的力的电力X分量之和永远为零，所以∫X´·ρ´dξdηdζ=0。
根据洛伦兹时间变换公式t=β（τ+υξ/V2），可得动系考察对应静系的t0和t1的时间极限分别为：τ=t0/β-υξ/V2和τ=t1/β-υξ/V2。
为了计算动系考察力场传递给刚体的能量变化△E公式3，爱因斯坦将时间划分为了三部分：
第一部分为t0/β-υξ/V2和t0/β；
第二部分为t0/β和t1/β，因为这一部分的时间极限同动系空间坐标ξ、η、ζ无关，所以其对应公式3的积分为0；
第三部分为t1/β和t1/β-υξ/V2。
由上面对时间的三段划分，公式3变为公式4：
ΔE=-∫（υ/V）2βX1´ρ´/（4π）dξdηdζ+∫（υ/V）2βX0´ρ´/（4π）dξdηdζ
其中，电力X0′和X1′分别为第一部分和第三部分时间间隔的电力X′。
设在开始时t0时刻，没有力作用在带电刚体之上，则公式4第二个积分为零，而X1´ρ´/（4π）dξdηdζ是在空间元上的有质动力的ξ分量Kξ，由此，公式4可变为公式5：
ΔE=-（υ/V）2·[1-（υ/V）2]-0.5·∑（ξ·Kξ）
其中，累计遍及刚体的所有质量元。
在对公式5的文字说明中爱因斯坦结束了论文第一部分的阐述：
“我们因此得到如下的奇异结果。如果一个原来没有力作用于其上的刚体受到这样一些力的影响：这些力并不把加速度授予物体，那么，这些力（注：从动系考察这些力为0，但根据洛伦兹变换导出静系考察的力不为0）——从一个相对于物体运动的坐标系观测（注：静系）——对物体做一定量的功△E，它只依赖于力的最终分布和平移速度（注：从静系考察电动力对刚体做功取决于相对速度υ和电动力分布情况）。
按照能量原理，由此立即得出，受力的刚体的动能比以同样速度运动的但不受任何力的同样物体的动能大△E。
（注：意即电动力做功了，但按经典力学来说带电刚体动能没变，因为速度υ没变；但根据能量守恒，动能应该增大了，因为电动力做功了，意即带电刚体的惯性质量m增加了，虽然速度υ没变，但动能增加了。）”
论文第一部分从电动力做功的角度考察论证了经典物理学中惯性质量永恒不变是不正确的，随着电动力对带电刚体做功，其惯性质量必然而增加了。
第二部分题为《关于一个带电刚体的惯性》，在这一部分，爱因斯坦考察了带电刚体静电能对带电刚体惯性质量的影响，得出了带电刚体动能的表达式，并将其与不带电刚体的动能表达式做对比，指出带静电的物体的惯性质量比不带电的物体的惯性质量要大，超过的量等于静电能除以光速的平方。
首先，由静系考察，一个正在以速度υ、沿x轴坐标增加的方向做匀速平移的带电刚体由于自身运动而产生的电磁能为公式6：
Ee=[∫（X2+Y2+Z2+L2+M2+N2）dxdydz]/（8π）
由动系考察上述电磁能为公式7：
Ee=[1/（8π）]·∫（1/β）·{X´2+[1+（υ/V）2]/[1-（υ/V）2]·（Y´2+Z´2）}dξdηdζ
考虑到带电刚体受到电量间相互作用产生的力的影响，则其总动能为公式8：
K=K0+ΔE+（Ee-Es）
其中，Es为带电刚体在静止状态时的静电能（注：即为公式7），K0为刚体没有电荷时的动能，△E为带电刚体受到电量间相互作用产生的能量变化。
带电刚体受到电量间相互作用产生的能量变化△E为公式9：
ΔE=-（υ/V）2·β/（4π）∫ξX´（∂X´/∂ξ+∂Y´/∂η+∂Z´/∂z）dξdηdζ=（υ/V）2·β/（8π）∫（X´2-Y´2-Z´2）dξdηdζ
将K0的公式1、Ee的公式6、Es的公式7以及△E为公式9代入公式8，可得带电刚体动能的表达式公式10：
K=（μ+Es/V2）·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
而刚体的动能K0公式1：
K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
对比公式1和公式10可知，带静电的物体的惯性质量（公式10中的μ+Es/V2）比不带电的物体的惯性质量（公式1中的μ）要大：
“人们认识到，带静电的物体的惯性质量比不带电的物体的惯性质量要大，超过的量等于静电能除以光速的平方。因此这个能量的惯性质量定律（注：即质能方程）为我们所考察的特例中的结果所确认。”
论文第二部分从带电刚体静电能的角度考察论证了经典物理学中惯性质量永恒不变是不正确的，惯性质量除了经典物理学中规定的数值，必然还包括静电能引起的惯性质量的增加部分。
第三部分题为《关于刚体动力学的评论》，在这一部分，爱因斯坦设计了两个思想实验，考察了从狭义相对论角度考虑，力对刚性杆作用效果的传播需要时间以及信号的传递也需要时间，而且信号传递速度不能大于光速。
第一个思想实验为大小相等但方向相反的两个力P在很短的时间τ0作用在刚性杆AB的两端，其他所有时间杆都不受力，则从动系考察，即刚性杆和参照系相对静止时，在时间τ0施加在杆上的作用不产生杆的任何运动。
但从静系考察，根据洛伦兹变换，A和B两个端点的受力则不同时，B点受力比A点受力延迟了ιβ/（υ/V2）时间单位，ι是杆的长度。对此，爱因斯坦提问说在A的冲量作用已经结束而在B的冲量尚未开始起作用，这时刻的能量如何，并拔高到这是违反能量守恒的大是大非的问题：
“在A的冲量已经把功传递给杆(因为杆已在运动)，因此杆的能量必须因这个功而增加。然而，或者在杆的速度方面，或者在任何其他有关量(可以使能量函数依赖于这些量)方面，都没有发生任何变化。因此，这里似乎违反了能量原理。”
而假设一个点的力的扩展到整个物体上不需要花时间同相对性原理是不相容的，就此爱因斯坦还上纲上线的评价到这说明要构建完备的相对论刚体平移动力学距离还很遥远：
“因此，我们显然不得不假设，在我们的例子中，在A的冲量的效应是同物体中性质未知的状态变化相联系的，这种变化以有限的速度扩展到整个物体，并且在短时间内使物体产生一个加速度，除非这种效应在该段时间内被若干作用于物体的其他力的效应所抵消。因此，如果相对论性电动力学是正确的，我们距建立刚体的平移动力学仍很遥远。”
第二个思想实验为一物质条以υ向x轴负向运动，相对于该物质条某种效应以速度W传播，在物质条两端均有一个与坐标系相对静止观察者A和B，要求观察者A通过物质条向B发送一个信号，则信号速度根据狭义相对论速度叠加公式为（W-υ）/（1-Wυ/V2）（注：狭义相对论论文《论动体的电动力学》第五部分《速度的加法定理》中的公式，本作《爱因斯坦46》公式16）。
因此，从A点发射信号到B点接收信号所花的时间T为公式11：
T=ι（1-Wυ/V2）/（W-υ）
其中，ι是AB的距离，W为物质条某种效应速度，即信号速度，υ为物质条向x轴负向运动速度，为小于光速V的任意值。
对着公式11，爱因斯坦端端正正的做了个简短的讨论，以证明信号速度W不可能大于光速V，因为在这样的情况下，时间T为负值，没有实际的物理意义：
“因此，如果W>V，如我们已经假设的那样，那么总可以选取一个υ使得T<0，这个结果意味着，我们必须认为这样一种传递机制是可能的，利用这种机制可以产生结果先于原因的情况(例如，意愿和行为的伴生)。
尽管按照我的意见，从纯逻辑观点看来这个结果并不包含矛盾，但它绝对同我们全部经验的品性相冲突，因此，W>V的假设的不可能性就被这个结果充分地证明了。
（注：在信号速度W超光速的情况下，公式11的分母W-υ肯定大于0，而分子便化为1-a·υ/V，其中a是W/V，为任意大于1的数，而υ/V为小于1的数。在这种情况下，适当的选取υ数值，很容易导致a·υ/V大于1，比如可以设W为2V，则a=2，只要υ/V大于0.5，则时间T的公式11便小于0了。
其实从洛伦兹因子那直接论证不能超光速比这里的论述都好懂，那里很明显，如果超光速，洛伦兹因子里的根号值就为负了。）”
论文第三部分通过两个思想实验论证了各种物理效应及信号传播都以有限速度（极限速度为光速）传播，而要构建完备的相对论动力学距离还很遥远，狭义相对论涉及的动力学的很多细节问题有待继续考察解决，在那之后才能奢谈相对论动力学完备体系的建立。
第四部分题为《关于由许多不受力的运动质点组成的体系的能量》，在这一部分，爱因斯坦终于开始应用群众喜闻乐见的质能方程形式E=mc2处理问题了，并从研究质点运动能量的角度考察了能量与惯性的等效性。
首先，以速度υ运动的质点μ的动能为论文第一部分的公式1：
K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
这个公式的差分形式为公式12：
k=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]|υ=υυ=0
（注：公式12其实就是公式1积分推导时尚未代入积分上下限分别为υ和0时的形式。）
在论文中爱因斯坦定义公式12积分下限υ=0时的能量为静止质点的能量ε0，其为公式13，即群众喜闻乐见的质能方程的静止质量形式：ε0=μ·V2。
对公式13爱因斯坦还做了一句注解：“人们应该注意到简化的条件μ·V2=ε0也是质能等效原理的表达式，而在带电体的案例中ε0不是别的，就是它的静电能。”
根据上述静止质点的能量的设定，则以速度υ运动的质点μ的能量则为公式14：
e=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]
设质点μ相对于动系（ξ，η，ζ）以速度ω运动，运动方向与ξ轴的夹角为j，则相对于静系（x，y，z）的质点μ能量为公式15：
e=μ·V2·（1+υwcosj）/√[（1-υ2/V2）·（1-w2/V2）]
则根据公式15可得多个质点的总能量表达式为公式16：
E=[1/√（1-υ2/V2）]·[∑μV2·（1-w2/V2）-0.5]+[υ/√（1-υ2/V2）]·[∑μwcosj·（1-w2/V2）-0.5]
根据质点系相对于坐标系动量为0原理，可知关系式17：
∑μωξ·（1-w2/V2）-0.5=0，∑μωη·（1-w2/V2）-0.5=0，∑μωζ·（1-w2/V2）-0.5=0。
其中，ωξ，ωη，ωζ是ω的分量。
根据关系式17，公式16可变为公式18：
E=[∑μV2·（1-w2/V2）-0.5]·[1/√（1-υ2/V2）]
根据质能方程，公式18变为公式19：
E=E0/V2·V2·[1/√（1-υ2/V2）]
其中，E0是质点系相对于坐标系动系（ξ，η，ζ）的能量；根据质能方程质点质量μ=E0/V2。
对比公式19和公式14（e=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]），爱因斯坦得出了从质点能量角度得出的质心定理：
“考虑到能量对于过程所参照的坐标系的运动状态的相依性，一个匀速运动的质点系可以用具有质量μ=E0/V2的单个质点来取代。”
最后，爱因斯坦以一句话结束了论文，再次强调了运动越激烈能量越高质量越大：“因此，一个运动质点体系——从整体看——质点彼此相对的运动愈快，惯性就愈大。这种相依性又是由引言中所引定律所给出的。”
至此，爱因斯坦第三篇论述质能方程的论文《论相对性原理所要求的能量的惯性》就正式结束了，此篇论文《物理学年鉴》于1907年5月14日收到，最终于6月16日发表。
爱因斯坦第三篇论述质能方程的论文《论相对性原理所要求的能量的惯性》正文分为四部分，第一部分题为《关于一个受到外力做匀速平移的刚体的动能》，在这一部分，爱因斯坦考察了带电刚体在接受电动力前后动能的变化，指出接受电动力的刚体的动能比以同样速度运动的但不受任何力的同样物体的动能大。
首先，由静系考察，一个正在以速度υ、沿x轴坐标增加的方向做匀速平移的刚体的动能K0为公式1：
K0=μV2[1/√（1-υ2/V2）-1]
（注：狭义相对论论文《论动体的电动力学》第十部分《(缓慢加速的)电子的动力学》中推导的电子动能方程，本作《爱因斯坦48》中的方程49。）
将上述的刚体变为带电刚体，并施加电磁场力后，在时间t0到t1之间，电磁力场传递给刚体的能量变化△E为公式2：
ΔE=∫dt∫υX·ρ/（4π）dxdydz，（时间积分上下限为t1，t0）
其中，空间积分遍及整个刚体，（X，Y，Z）表示电力的矢量，ρ=∂X/∂x+∂Y/∂y+∂Z/∂z，表示电密度的4π倍。
由动系（注：静系和动系的划分，以及坐标符号都与论文《论动体的电动力学》相同），即与刚体相对静止的坐标系考察，根据洛伦兹变换，可得电磁力场传递给刚体的能量变化△E为公式3：
ΔE=∫∫βυX´·ρ´/（4π）dξdηdζ
其中，β为洛伦兹因子[1-（υ/V）2]-0.5。
因为从动系考察，即从一个同物体一起运动的坐标系观测，作用在物体上的力的电力X分量之和永远为零，所以∫X´·ρ´dξdηdζ=0。
根据洛伦兹时间变换公式t=β（τ+υξ/V2），可得动系考察对应静系的t0和t1的时间极限分别为：τ=t0/β-υξ/V2和τ=t1/β-υξ/V2。
为了计算动系考察力场传递给刚体的能量变化△E公式3，爱因斯坦将时间划分为了三部分：
第一部分为t0/β-υξ/V2和t0/β；
第二部分为t0/β和t1/β，因为这一部分的时间极限同动系空间坐标ξ、η、ζ无关，所以其对应公式3的积分为0；
第三部分为t1/β和t1/β-υξ/V2。
由上面对时间的三段划分，公式3变为公式4：
ΔE=-∫（υ/V）2βX1´ρ´/（4π）dξdηdζ+∫（υ/V）2βX0´ρ´/（4π）dξdηdζ
其中，电力X0′和X1′分别为第一部分和第三部分时间间隔的电力X′。
设在开始时t0时刻，没有力作用在带电刚体之上，则公式4第二个积分为零，而X1´ρ´/（4π）dξdηdζ是在空间元上的有质动力的ξ分量Kξ，由此，公式4可变为公式5：
ΔE=-（υ/V）2·[1-（υ/V）2]-0.5·∑（ξ·Kξ）
其中，累计遍及刚体的所有质量元。
在对公式5的文字说明中爱因斯坦结束了论文第一部分的阐述：
“我们因此得到如下的奇异结果。如果一个原来没有力作用于其上的刚体受到这样一些力的影响：这些力并不把加速度授予物体，那么，这些力（注：从动系考察这些力为0，但根据洛伦兹变换导出静系考察的力不为0）——从一个相对于物体运动的坐标系观测（注：静系）——对物体做一定量的功△E，它只依赖于力的最终分布和平移速度（注：从静系考察电动力对刚体做功取决于相对速度υ和电动力分布情况）。
按照能量原理，由此立即得出，受力的刚体的动能比以同样速度运动的但不受任何力的同样物体的动能大△E。
（注：意即电动力做功了，但按经典力学来说带电刚体动能没变，因为速度υ没变；但根据能量守恒，动能应该增大了，因为电动力做功了，意即带电刚体的惯性质量m增加了，虽然速度υ没变，但动能增加了。）”
论文第一部分从电动力做功的角度考察论证了经典物理学中惯性质量永恒不变是不正确的，随着电动力对带电刚体做功，其惯性质量必然而增加了。
第二部分题为《关于一个带电刚体的惯性》，在这一部分，爱因斯坦考察了带电刚体静电能对带电刚体惯性质量的影响，得出了带电刚体动能的表达式，并将其与不带电刚体的动能表达式做对比，指出带静电的物体的惯性质量比不带电的物体的惯性质量要大，超过的量等于静电能除以光速的平方。
首先，由静系考察，一个正在以速度υ、沿x轴坐标增加的方向做匀速平移的带电刚体由于自身运动而产生的电磁能为公式6：
Ee=[∫（X2+Y2+Z2+L2+M2+N2）dxdydz]/（8π）
由动系考察上述电磁能为公式7：
Ee=[1/（8π）]·∫（1/β）·{X´2+[1+（υ/V）2]/[1-（υ/V）2]·（Y´2+Z´2）}dξdηdζ
考虑到带电刚体受到电量间相互作用产生的力的影响，则其总动能为公式8：
K=K0+ΔE+（Ee-Es）
其中，Es为带电刚体在静止状态时的静电能（注：即为公式7），K0为刚体没有电荷时的动能，△E为带电刚体受到电量间相互作用产生的能量变化。
带电刚体受到电量间相互作用产生的能量变化△E为公式9：
ΔE=-（υ/V）2·β/（4π）∫ξX´（∂X´/∂ξ+∂Y´/∂η+∂Z´/∂z）dξdηdζ=（υ/V）2·β/（8π）∫（X´2-Y´2-Z´2）dξdηdζ
将K0的公式1、Ee的公式6、Es的公式7以及△E为公式9代入公式8，可得带电刚体动能的表达式公式10：
K=（μ+Es/V2）·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
而刚体的动能K0公式1：
K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
对比公式1和公式10可知，带静电的物体的惯性质量（公式10中的μ+Es/V2）比不带电的物体的惯性质量（公式1中的μ）要大：
“人们认识到，带静电的物体的惯性质量比不带电的物体的惯性质量要大，超过的量等于静电能除以光速的平方。因此这个能量的惯性质量定律（注：即质能方程）为我们所考察的特例中的结果所确认。”
论文第二部分从带电刚体静电能的角度考察论证了经典物理学中惯性质量永恒不变是不正确的，惯性质量除了经典物理学中规定的数值，必然还包括静电能引起的惯性质量的增加部分。
第三部分题为《关于刚体动力学的评论》，在这一部分，爱因斯坦设计了两个思想实验，考察了从狭义相对论角度考虑，力对刚性杆作用效果的传播需要时间以及信号的传递也需要时间，而且信号传递速度不能大于光速。
第一个思想实验为大小相等但方向相反的两个力P在很短的时间τ0作用在刚性杆AB的两端，其他所有时间杆都不受力，则从动系考察，即刚性杆和参照系相对静止时，在时间τ0施加在杆上的作用不产生杆的任何运动。
但从静系考察，根据洛伦兹变换，A和B两个端点的受力则不同时，B点受力比A点受力延迟了ιβ/（υ/V2）时间单位，ι是杆的长度。对此，爱因斯坦提问说在A的冲量作用已经结束而在B的冲量尚未开始起作用，这时刻的能量如何，并拔高到这是违反能量守恒的大是大非的问题：
“在A的冲量已经把功传递给杆(因为杆已在运动)，因此杆的能量必须因这个功而增加。然而，或者在杆的速度方面，或者在任何其他有关量(可以使能量函数依赖于这些量)方面，都没有发生任何变化。因此，这里似乎违反了能量原理。”
而假设一个点的力的扩展到整个物体上不需要花时间同相对性原理是不相容的，就此爱因斯坦还上纲上线的评价到这说明要构建完备的相对论刚体平移动力学距离还很遥远：
“因此，我们显然不得不假设，在我们的例子中，在A的冲量的效应是同物体中性质未知的状态变化相联系的，这种变化以有限的速度扩展到整个物体，并且在短时间内使物体产生一个加速度，除非这种效应在该段时间内被若干作用于物体的其他力的效应所抵消。因此，如果相对论性电动力学是正确的，我们距建立刚体的平移动力学仍很遥远。”
第二个思想实验为一物质条以υ向x轴负向运动，相对于该物质条某种效应以速度W传播，在物质条两端均有一个与坐标系相对静止观察者A和B，要求观察者A通过物质条向B发送一个信号，则信号速度根据狭义相对论速度叠加公式为（W-υ）/（1-Wυ/V2）（注：狭义相对论论文《论动体的电动力学》第五部分《速度的加法定理》中的公式，本作《爱因斯坦46》公式16）。
因此，从A点发射信号到B点接收信号所花的时间T为公式11：
T=ι（1-Wυ/V2）/（W-υ）
其中，ι是AB的距离，W为物质条某种效应速度，即信号速度，υ为物质条向x轴负向运动速度，为小于光速V的任意值。
对着公式11，爱因斯坦端端正正的做了个简短的讨论，以证明信号速度W不可能大于光速V，因为在这样的情况下，时间T为负值，没有实际的物理意义：
“因此，如果W>V，如我们已经假设的那样，那么总可以选取一个υ使得T<0，这个结果意味着，我们必须认为这样一种传递机制是可能的，利用这种机制可以产生结果先于原因的情况(例如，意愿和行为的伴生)。
尽管按照我的意见，从纯逻辑观点看来这个结果并不包含矛盾，但它绝对同我们全部经验的品性相冲突，因此，W>V的假设的不可能性就被这个结果充分地证明了。
（注：在信号速度W超光速的情况下，公式11的分母W-υ肯定大于0，而分子便化为1-a·υ/V，其中a是W/V，为任意大于1的数，而υ/V为小于1的数。在这种情况下，适当的选取υ数值，很容易导致a·υ/V大于1，比如可以设W为2V，则a=2，只要υ/V大于0.5，则时间T的公式11便小于0了。
其实从洛伦兹因子那直接论证不能超光速比这里的论述都好懂，那里很明显，如果超光速，洛伦兹因子里的根号值就为负了。）”
论文第三部分通过两个思想实验论证了各种物理效应及信号传播都以有限速度（极限速度为光速）传播，而要构建完备的相对论动力学距离还很遥远，狭义相对论涉及的动力学的很多细节问题有待继续考察解决，在那之后才能奢谈相对论动力学完备体系的建立。
第四部分题为《关于由许多不受力的运动质点组成的体系的能量》，在这一部分，爱因斯坦终于开始应用群众喜闻乐见的质能方程形式E=mc2处理问题了，并从研究质点运动能量的角度考察了能量与惯性的等效性。
首先，以速度υ运动的质点μ的动能为论文第一部分的公式1：
K0=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
这个公式的差分形式为公式12：
k=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]|υ=υυ=0
（注：公式12其实就是公式1积分推导时尚未代入积分上下限分别为υ和0时的形式。）
在论文中爱因斯坦定义公式12积分下限υ=0时的能量为静止质点的能量ε0，其为公式13，即群众喜闻乐见的质能方程的静止质量形式：ε0=μ·V2。
对公式13爱因斯坦还做了一句注解：“人们应该注意到简化的条件μ·V2=ε0也是质能等效原理的表达式，而在带电体的案例中ε0不是别的，就是它的静电能。”
根据上述静止质点的能量的设定，则以速度υ运动的质点μ的能量则为公式14：
e=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]
设质点μ相对于动系（ξ，η，ζ）以速度ω运动，运动方向与ξ轴的夹角为j，则相对于静系（x，y，z）的质点μ能量为公式15：
e=μ·V2·（1+υwcosj）/√[（1-υ2/V2）·（1-w2/V2）]
则根据公式15可得多个质点的总能量表达式为公式16：
E=[1/√（1-υ2/V2）]·[∑μV2·（1-w2/V2）-0.5]+[υ/√（1-υ2/V2）]·[∑μwcosj·（1-w2/V2）-0.5]
根据质点系相对于坐标系动量为0原理，可知关系式17：
∑μωξ·（1-w2/V2）-0.5=0，∑μωη·（1-w2/V2）-0.5=0，∑μωζ·（1-w2/V2）-0.5=0。
其中，ωξ，ωη，ωζ是ω的分量。
根据关系式17，公式16可变为公式18：
E=[∑μV2·（1-w2/V2）-0.5]·[1/√（1-υ2/V2）]
根据质能方程，公式18变为公式19：
E=E0/V2·V2·[1/√（1-υ2/V2）]
其中，E0是质点系相对于坐标系动系（ξ，η，ζ）的能量；根据质能方程质点质量μ=E0/V2。
对比公式19和公式14（e=μ·V2[1/√（1-υ2/V2）]），爱因斯坦得出了从质点能量角度得出的质心定理：
“考虑到能量对于过程所参照的坐标系的运动状态的相依性，一个匀速运动的质点系可以用具有质量μ=E0/V2的单个质点来取代。”
最后，爱因斯坦以一句话结束了论文，再次强调了运动越激烈能量越高质量越大：“因此，一个运动质点体系——从整体看——质点彼此相对的运动愈快，惯性就愈大。这种相依性又是由引言中所引定律所给出的。”
至此，爱因斯坦第三篇论述质能方程的论文《论相对性原理所要求的能量的惯性》就正式结束了，此篇论文《物理学年鉴》于1907年5月14日收到，最终于6月16日发表。
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