第十九章 多项式（ 上）
第九节：有理系数多项式。
本原多项式：系数没有异于±1的公因子（=互素）的非零整系数多项式。
高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
定理11：非零整系数多项式可分解成两有理系数多项式的乘积。→该多项式一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
“这个还挺好理解，设两个有理数分别是p1/q1和p2/q2，分子和分母互素，如果说这两个有理数的乘积是非零整数，那么一定有q1q2|p1p2，即p1/q2和p2/q1都是整数，也就是结论啦。”秦菲看书上的做法和她不同，“设两个有理数先把有理系数多项式转化为整系数多项式，也是一个不错的思路。”
推论：设f(x)，g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原多项式，若f(x)=g(x)h(x)，h(x)是有理系数多项式，那么h(x)一定是整系数的。
“整系数肯定是有理系数，这不就是定理11吗？”秦菲问。
“这就是定理11的推论啊。”超新星说。
“哦哦，不过这里为什么要强调g是本原多项式呢？”话音未落，秦菲回答了自己的问题，“我知道了，如果g不是本原多项式的话，h就不一定是整系数多项式了。”
定理12：设r/s是整系数多项式f(x)的一个有理根，其中r，s互素，那么必有s|首项系数，r|常数项系数。
“按这个定理，如果首项系数是1，这个整系数多项式就全是整根？”秦菲问。
“没错，这是一个特别情况，这种情况下，整根还是首项系数的因子。”
“为什么啊？”秦菲一头雾水，她不是觉得这个定理不对，就是这个结论吧，有点突然。
“因为r/s是根，那么有（x-r/s）|f(x)，这个没问题吧？”超新星问。
“没问题。”
“那显然有（sx-r）|f(x)，sx-r是本原多项式。”
“这个也没问题，就是同时乘了个s，r和s本来就是互素的嘛。”秦菲点点头。
“根据定理11的推论，f(x)=（sx-r）h(x)。”
“f(x)是整系数多项式，sx-r是本原多项式，都对上了，h(x)自然就是整系数多项式，然后呢？”
“然后该你了，你观察一下现在f(x)的首项系数和常数项系数。”超新星说。
“哦，系数的话......”秦菲拿起小白笔在屏幕上写了起来。
an=s*h_n-1，a0=-r*h0。
“这又能——”说到一半秦菲自己卡住了，这两个式子已经说明了s|an和r|a0，“牛，我知道了。”
例1：2x^4-x^3+2x-3=0。
“做个小题，这多项式可能的有理根有±3，±3/2，±1，±1/2，为什么是这些数字，真正的有理根是什么？”超新星问。
“首项系数是2，能整除2的是±1和±2，常数项系数是3，能整除3的是±3和±1，前者是分母，后者是分子，这样就组合出了你说的八个数。”秦菲边看前面的笔记边说，“真正的有理根，我代一下吧。”
“这要是考试你也代吗？”超新星问。
“那时间可能不够，简化一下就是(x^3+1)(2x-1)-2=0，这样±1/2直接排除，±3/2、±3和-1明显不对，有理根是1。”秦菲说。
“如果每个可能的有理根代入都不符合呢？”超新星问。
“那就没根啊。”秦菲想都没想就说。
“严谨一点，是在有理数域上没根，或者说在有理数域上不可约。”超新星说。
“对对对，有理。”
艾森斯坦（Eisenstein）判别法：f(x)是整系数多项式，若ョ素数p满足如下条件：1）p†首项系数；2）p|除了首项系数的其他所有系数；3）p^2†常数项系数，f(x)在有理数域上不可约。
an=s*h_n-1，a0=-r*h0。
“这是你刚刚写的f的首项系数和常数项系数，看第二个条件，p能整除常数项系数但是它的平方不能，我们不妨设p|h0且p†r——”
“等下，这个不妨设是什么意思，咱们还能自己造条件吗？”秦菲问。
“不和原题条件冲突就行。”
“好的，你继续。”
“我们看第一个条件，p†an，由此可知，p†h_n-1，我们设h(x)的系数h0到h_n中第一个不能被p整除的系数是h_k，我们看f(x)中x^k的系数，ak=s*h_k-1-r*h_k，你观察一下这个等式里哪些数可以被p整除。”超新星说。
“ak和h_k-1。”秦菲答。
“那这样产生了一个什么矛盾呢？”超新星问。
“矛盾？我看看。”秦菲深吸一口气，检查起来“被减数和差都能被p整除，那r*h_k这一项也应该能被p整除才对，但是设定上r和h_k都不能被p整除，这里矛盾了，如果说前面的不妨设改成p†h0且p|r，系数等式就是a0=-r*h_0，根据条件2），p|a0，欸？这样好像就不矛盾了？”
“看看其他项的系数。”
“a1=s*h_0-r*h_1，a1和r都能被p整除，那s*h_0应该也能被p整除，设定是p†h0，也就是p|s，可是r和s是互素，不可能有p这个公因子，矛盾。”
“是的，通过反证法推矛盾证明了这个定理，这是很常见的，要学会哦。”
“嗯嗯。”
*第十节：多元多项式。
“带星号的。”秦菲发现了标题的不一般。
“这个符号代表有难度。”
单项式：形为ax1^k1*x2^k2*......*xn^kn的式子，其中a是常数，k1，k2，......，kn是非负整数。
n元多项式：∑（k1，k2，......，kn）a_(k1*k2*......*kn)*x1^k1*x2^k2*......*xn^kn
“这个字典排列法，好复杂的感觉。”
“写的是有点复杂，以项为单位看，每一元的次数构成了一个数组，比如x1x2这一项的数组就是（1，1），有了数组之后再来排列。”超新星说，“先后顺序书上是以相减后第一个不为零的正数做标志，更为直观的是（2，1）一定比（1，2）先，也就是单纯的看大小。”
“哦，好像是不难的。”秦菲说。
“是还好。”
*第十一节：对称多项式。
对称多项式：∀i
初等对称多项式：下列n个对称多项式称为初等对称多项式。
σ1=x1+x2+...+xn；
σ2=x1x2+x1x3+...+x_n-1*xn
······
σn=x1x2......xn
“这n个初等对称多项式是要做什么呢？”秦菲问。
“下一个定理就是了。”
本原多项式：系数没有异于±1的公因子（=互素）的非零整系数多项式。
高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
定理11：非零整系数多项式可分解成两有理系数多项式的乘积。→该多项式一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。
“这个还挺好理解，设两个有理数分别是p1/q1和p2/q2，分子和分母互素，如果说这两个有理数的乘积是非零整数，那么一定有q1q2|p1p2，即p1/q2和p2/q1都是整数，也就是结论啦。”秦菲看书上的做法和她不同，“设两个有理数先把有理系数多项式转化为整系数多项式，也是一个不错的思路。”
推论：设f(x)，g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原多项式，若f(x)=g(x)h(x)，h(x)是有理系数多项式，那么h(x)一定是整系数的。
“整系数肯定是有理系数，这不就是定理11吗？”秦菲问。
“这就是定理11的推论啊。”超新星说。
“哦哦，不过这里为什么要强调g是本原多项式呢？”话音未落，秦菲回答了自己的问题，“我知道了，如果g不是本原多项式的话，h就不一定是整系数多项式了。”
定理12：设r/s是整系数多项式f(x)的一个有理根，其中r，s互素，那么必有s|首项系数，r|常数项系数。
“按这个定理，如果首项系数是1，这个整系数多项式就全是整根？”秦菲问。
“没错，这是一个特别情况，这种情况下，整根还是首项系数的因子。”
“为什么啊？”秦菲一头雾水，她不是觉得这个定理不对，就是这个结论吧，有点突然。
“因为r/s是根，那么有（x-r/s）|f(x)，这个没问题吧？”超新星问。
“没问题。”
“那显然有（sx-r）|f(x)，sx-r是本原多项式。”
“这个也没问题，就是同时乘了个s，r和s本来就是互素的嘛。”秦菲点点头。
“根据定理11的推论，f(x)=（sx-r）h(x)。”
“f(x)是整系数多项式，sx-r是本原多项式，都对上了，h(x)自然就是整系数多项式，然后呢？”
“然后该你了，你观察一下现在f(x)的首项系数和常数项系数。”超新星说。
“哦，系数的话......”秦菲拿起小白笔在屏幕上写了起来。
an=s*h_n-1，a0=-r*h0。
“这又能——”说到一半秦菲自己卡住了，这两个式子已经说明了s|an和r|a0，“牛，我知道了。”
例1：2x^4-x^3+2x-3=0。
“做个小题，这多项式可能的有理根有±3，±3/2，±1，±1/2，为什么是这些数字，真正的有理根是什么？”超新星问。
“首项系数是2，能整除2的是±1和±2，常数项系数是3，能整除3的是±3和±1，前者是分母，后者是分子，这样就组合出了你说的八个数。”秦菲边看前面的笔记边说，“真正的有理根，我代一下吧。”
“这要是考试你也代吗？”超新星问。
“那时间可能不够，简化一下就是(x^3+1)(2x-1)-2=0，这样±1/2直接排除，±3/2、±3和-1明显不对，有理根是1。”秦菲说。
“如果每个可能的有理根代入都不符合呢？”超新星问。
“那就没根啊。”秦菲想都没想就说。
“严谨一点，是在有理数域上没根，或者说在有理数域上不可约。”超新星说。
“对对对，有理。”
艾森斯坦（Eisenstein）判别法：f(x)是整系数多项式，若ョ素数p满足如下条件：1）p†首项系数；2）p|除了首项系数的其他所有系数；3）p^2†常数项系数，f(x)在有理数域上不可约。
an=s*h_n-1，a0=-r*h0。
“这是你刚刚写的f的首项系数和常数项系数，看第二个条件，p能整除常数项系数但是它的平方不能，我们不妨设p|h0且p†r——”
“等下，这个不妨设是什么意思，咱们还能自己造条件吗？”秦菲问。
“不和原题条件冲突就行。”
“好的，你继续。”
“我们看第一个条件，p†an，由此可知，p†h_n-1，我们设h(x)的系数h0到h_n中第一个不能被p整除的系数是h_k，我们看f(x)中x^k的系数，ak=s*h_k-1-r*h_k，你观察一下这个等式里哪些数可以被p整除。”超新星说。
“ak和h_k-1。”秦菲答。
“那这样产生了一个什么矛盾呢？”超新星问。
“矛盾？我看看。”秦菲深吸一口气，检查起来“被减数和差都能被p整除，那r*h_k这一项也应该能被p整除才对，但是设定上r和h_k都不能被p整除，这里矛盾了，如果说前面的不妨设改成p†h0且p|r，系数等式就是a0=-r*h_0，根据条件2），p|a0，欸？这样好像就不矛盾了？”
“看看其他项的系数。”
“a1=s*h_0-r*h_1，a1和r都能被p整除，那s*h_0应该也能被p整除，设定是p†h0，也就是p|s，可是r和s是互素，不可能有p这个公因子，矛盾。”
“是的，通过反证法推矛盾证明了这个定理，这是很常见的，要学会哦。”
“嗯嗯。”
*第十节：多元多项式。
“带星号的。”秦菲发现了标题的不一般。
“这个符号代表有难度。”
单项式：形为ax1^k1*x2^k2*......*xn^kn的式子，其中a是常数，k1，k2，......，kn是非负整数。
n元多项式：∑（k1，k2，......，kn）a_(k1*k2*......*kn)*x1^k1*x2^k2*......*xn^kn
“这个字典排列法，好复杂的感觉。”
“写的是有点复杂，以项为单位看，每一元的次数构成了一个数组，比如x1x2这一项的数组就是（1，1），有了数组之后再来排列。”超新星说，“先后顺序书上是以相减后第一个不为零的正数做标志，更为直观的是（2，1）一定比（1，2）先，也就是单纯的看大小。”
“哦，好像是不难的。”秦菲说。
“是还好。”
*第十一节：对称多项式。
对称多项式：∀i
初等对称多项式：下列n个对称多项式称为初等对称多项式。
σ1=x1+x2+...+xn；
σ2=x1x2+x1x3+...+x_n-1*xn
······
σn=x1x2......xn
“这n个初等对称多项式是要做什么呢？”秦菲问。
“下一个定理就是了。”
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