第三十四章 连续函数
数学分析第二章第三节：连续函数。
函数在x0点连续的定义：若函数f(x)在U(x0)有定义，且lim（x→x0）f(x)=f(x0)，则称f(x)在x0点连续。
第一类不连续点：左极限f（x0-）与右极限f（x0+）均存在，但不相等。
第二类不连续点：左极限f（x0-）与右极限f（x0+）至少有一个不存在。
可移不连续点：左极限f（x0-）=右极限f（x0+），但是与lim（x→x0）f(x)不相等或f(x)在x0处没有定义。
闭区间连续函数必有界。
一致连续定义：∀ε>0，∃δ>0，∀x1，x2∈I，当|x1-x2|<δ，|f（x1）-f（x2）|<ε，则称f（x）在区间I内一致连续。
L1：证明sin（1/x）在（c，1）（c>0）是一致连续的，而在（0，1）连续但非一致连续。
|sin（1/x1）-sin（1/x2）|
=|2cos[（x1+x2）/2x1x2]*sin[（x1-x2）/2x1x2]|
“放大。”见秦菲没有继续写下去，超新星出声提醒。
≤|（x1-x2）/x1x2|≤|（x1-x2）/c²|
“令δ=cε²，sin（1/x）在（c，1）上就是一致连续的。”秦菲说，“如果是（0，1）上就不行，但是好像不能直接这么写。”
“可以举个反例，比如当x1和x2取某个值时，|f（x1）-f（x2）|是大于ε的。”超新星提醒道。
“取值的话，那取x1=1/（2kΠ+Π/2），x2取1/（2kΠ-Π/2），k是正整数，这样|f（x1）-f（x2）|=|1-（-1）|=2，然后这个时候的|x1-x2|=|1/（4k²Π-Π/4）|，当k趋于无穷大时，|x1-x2|趋于0。”
“是的，这时候对于任何小于2的ε，是找不到符合条件的δ的因为无论δ有多小，|f（x1）-f（x2）|等于2，这个值是比ε要大的。”超新星说。
Cantor定理：闭区间上连续函数必定一致连续。
Q1：若f（x）和g（x）都在[a，b]连续，试证明max{f（x），g（x）}以及min{f（x），g（x）}都在[a，b]连续。
“肯定是连续的，不过该怎么把这两个值分别表示出来呢？”
“可以看成是一个区间，一边是f（x），一边是g（x），现在以中点（f（x）+g（x））/2为起点去表示这个区间的端点，按这个思路来。”
“绝对值！”秦菲想到了。
min{f（x），g（x）}=（f（x）+g（x））/2-|f（x）-g（x）|/2
max{f（x），g（x）}=（f（x）+g（x））/2+|f（x）-g（x）|/2
“没错，因为f（x）和g（x）都在[a，b]连续，上面两个式子自然也在[a，b]连续。”
Q2：研究下列函数各个不连续点的性质。
（1）y=[x]+[-x]；
“[x]和[-x]的图像以y轴对称，它们的不连续点是所有整数点，它们左右极限都存在且相等，均为-1，但是不等于整数点的值，整数点的值是0，所以是可移不连续点。”
“是的，没错。”
（2）y={1/q，x=是有理数；0，x是无理数；
“这个和第一小题一样，也是左右极限存在都相等，但是和这一点的值不相等，所以不连续点是所有有理数点，性质是可移不连续点。”
“正确，下一题。”
（3）y={x，|x|≤1；1，|x|＞1；
“这个不连续吗？我图都画出来了，以y轴对称，没有不连续吧？”秦菲疑惑地问。
“注意看，一个是大于等于，一个是大于，差了一个数。”
“差数，差的是，我看看啊，如果是-1的话，值就是-1，诶？这个点不连续，它的左极限是1，右极限是-1，左右极限存在但是不相等，x=-1是y的第一类不连续点。”
“没错，要注意符号哦。”
（4）y={cos（Πx/2），|x|≤1；|x-1|，|x|＞1；
“这题也是符号不对称，先看看x=-1的情况，左极限是2，右极限是0，x=-1是y的第一类不连续点。”秦菲说，“其他都是连续的。”
“正确的。”
（5）y={sin（Πx），x为有理数；0，x为无理数。
“这题感觉和第三小题差不多，有理数点是不连续点，左右极限存在且相同但是——等下，这里面有些有理数点是连续的，准确来说，不连续点应该是除开整数的有理数，它们都是可移不连续点。”秦菲答着答着发现不对劲，赶紧纠正过来。
“没错，那么做了第一类不连续点和可移不连续点的题目，请问第二类不连续点具有什么性质呢？”超新星问。
“应该是左右极限至少有一个不存在。”
“没错，下一题吧。”
Q3：f（x）=tan（2x）/x在x=0时无定义，试定义f（0）的数值使得重新定义后的函数在x=0连续。
“左右极限都是无穷小量除无穷小量，把tan（2x）拆成cos除以sin，这样cos是1，sin用等价无穷小，结果就是1/（2x²），f（0）=正无穷。”
“思路正确但是拆反了。”
“哦，对，应该是sin除以cos，那样的话答案就是2。”
“是的，2是正确答案。”
Q4：用一致连续定义验证：f（x）=sinx²在（-∞，+∞）上不一致连续。
|sinx1²-sinx2²|=2|cos[（x1²+x2²）/2]sin[（x1+x2）（x1-x2）/2]|≤2|sin[（x1+x2）（x1-x2）/2]|≤|（x1+x2）（x1-x2）|
“因为|x1+x2|是无穷大，|x1-x2|<δ，δ不一定是无穷小，等等，δ可以是无穷小，那就没有矛盾的地方，应该是一致连续的才对啊，这个题目应该没出错吧，应该是我哪里想的有问题。”秦菲翻起一致连续的定义来。
一致连续定义：∀ε>0，∃δ>0，∀x1，x2∈I，当|x1-x2|<δ，|f（x1）-f（x2）|<ε，则称f（x）在区间I内一致连续。
“如果套在这里，δ取值是ε/|x1+x2|，定值除以正无穷大，δ必须是无穷小量，但是没法取，道理应该是这个道理，但是要怎么表述呢？”
“可以举个反例。”看秦菲在死胡同里纠结半天，超新星赶紧给个提醒。
“反例？”
“我们之前做过这样一个例题，证明sin（1/x）在（c，1）（c>0）是一致连续的，而在（0，1）连续但非一致连续，这两个题目是一个思路。”
“一个思路的话，那就是去x1=√（2kΠ+Π/2），x2=√（2kΠ-Π/2），这样|f（x1）-f（x2）|就会等于2，k是正整数，当k充分大，一定可以找到δ，但是不论δ多小，对于ε小于2的情况都是不符合的，所以sinx²在（-∞，+∞）上不一致连续。”
“是的，这么简单的做法要记住啊。”
“好的，这一章还剩一节，我会好好学的。”
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函数在x0点连续的定义：若函数f(x)在U(x0)有定义，且lim（x→x0）f(x)=f(x0)，则称f(x)在x0点连续。
第一类不连续点：左极限f（x0-）与右极限f（x0+）均存在，但不相等。
第二类不连续点：左极限f（x0-）与右极限f（x0+）至少有一个不存在。
可移不连续点：左极限f（x0-）=右极限f（x0+），但是与lim（x→x0）f(x)不相等或f(x)在x0处没有定义。
闭区间连续函数必有界。
一致连续定义：∀ε>0，∃δ>0，∀x1，x2∈I，当|x1-x2|<δ，|f（x1）-f（x2）|<ε，则称f（x）在区间I内一致连续。
L1：证明sin（1/x）在（c，1）（c>0）是一致连续的，而在（0，1）连续但非一致连续。
|sin（1/x1）-sin（1/x2）|
=|2cos[（x1+x2）/2x1x2]*sin[（x1-x2）/2x1x2]|
“放大。”见秦菲没有继续写下去，超新星出声提醒。
≤|（x1-x2）/x1x2|≤|（x1-x2）/c²|
“令δ=cε²，sin（1/x）在（c，1）上就是一致连续的。”秦菲说，“如果是（0，1）上就不行，但是好像不能直接这么写。”
“可以举个反例，比如当x1和x2取某个值时，|f（x1）-f（x2）|是大于ε的。”超新星提醒道。
“取值的话，那取x1=1/（2kΠ+Π/2），x2取1/（2kΠ-Π/2），k是正整数，这样|f（x1）-f（x2）|=|1-（-1）|=2，然后这个时候的|x1-x2|=|1/（4k²Π-Π/4）|，当k趋于无穷大时，|x1-x2|趋于0。”
“是的，这时候对于任何小于2的ε，是找不到符合条件的δ的因为无论δ有多小，|f（x1）-f（x2）|等于2，这个值是比ε要大的。”超新星说。
Cantor定理：闭区间上连续函数必定一致连续。
Q1：若f（x）和g（x）都在[a，b]连续，试证明max{f（x），g（x）}以及min{f（x），g（x）}都在[a，b]连续。
“肯定是连续的，不过该怎么把这两个值分别表示出来呢？”
“可以看成是一个区间，一边是f（x），一边是g（x），现在以中点（f（x）+g（x））/2为起点去表示这个区间的端点，按这个思路来。”
“绝对值！”秦菲想到了。
min{f（x），g（x）}=（f（x）+g（x））/2-|f（x）-g（x）|/2
max{f（x），g（x）}=（f（x）+g（x））/2+|f（x）-g（x）|/2
“没错，因为f（x）和g（x）都在[a，b]连续，上面两个式子自然也在[a，b]连续。”
Q2：研究下列函数各个不连续点的性质。
（1）y=[x]+[-x]；
“[x]和[-x]的图像以y轴对称，它们的不连续点是所有整数点，它们左右极限都存在且相等，均为-1，但是不等于整数点的值，整数点的值是0，所以是可移不连续点。”
“是的，没错。”
（2）y={1/q，x=是有理数；0，x是无理数；
“这个和第一小题一样，也是左右极限存在都相等，但是和这一点的值不相等，所以不连续点是所有有理数点，性质是可移不连续点。”
“正确，下一题。”
（3）y={x，|x|≤1；1，|x|＞1；
“这个不连续吗？我图都画出来了，以y轴对称，没有不连续吧？”秦菲疑惑地问。
“注意看，一个是大于等于，一个是大于，差了一个数。”
“差数，差的是，我看看啊，如果是-1的话，值就是-1，诶？这个点不连续，它的左极限是1，右极限是-1，左右极限存在但是不相等，x=-1是y的第一类不连续点。”
“没错，要注意符号哦。”
（4）y={cos（Πx/2），|x|≤1；|x-1|，|x|＞1；
“这题也是符号不对称，先看看x=-1的情况，左极限是2，右极限是0，x=-1是y的第一类不连续点。”秦菲说，“其他都是连续的。”
“正确的。”
（5）y={sin（Πx），x为有理数；0，x为无理数。
“这题感觉和第三小题差不多，有理数点是不连续点，左右极限存在且相同但是——等下，这里面有些有理数点是连续的，准确来说，不连续点应该是除开整数的有理数，它们都是可移不连续点。”秦菲答着答着发现不对劲，赶紧纠正过来。
“没错，那么做了第一类不连续点和可移不连续点的题目，请问第二类不连续点具有什么性质呢？”超新星问。
“应该是左右极限至少有一个不存在。”
“没错，下一题吧。”
Q3：f（x）=tan（2x）/x在x=0时无定义，试定义f（0）的数值使得重新定义后的函数在x=0连续。
“左右极限都是无穷小量除无穷小量，把tan（2x）拆成cos除以sin，这样cos是1，sin用等价无穷小，结果就是1/（2x²），f（0）=正无穷。”
“思路正确但是拆反了。”
“哦，对，应该是sin除以cos，那样的话答案就是2。”
“是的，2是正确答案。”
Q4：用一致连续定义验证：f（x）=sinx²在（-∞，+∞）上不一致连续。
|sinx1²-sinx2²|=2|cos[（x1²+x2²）/2]sin[（x1+x2）（x1-x2）/2]|≤2|sin[（x1+x2）（x1-x2）/2]|≤|（x1+x2）（x1-x2）|
“因为|x1+x2|是无穷大，|x1-x2|<δ，δ不一定是无穷小，等等，δ可以是无穷小，那就没有矛盾的地方，应该是一致连续的才对啊，这个题目应该没出错吧，应该是我哪里想的有问题。”秦菲翻起一致连续的定义来。
一致连续定义：∀ε>0，∃δ>0，∀x1，x2∈I，当|x1-x2|<δ，|f（x1）-f（x2）|<ε，则称f（x）在区间I内一致连续。
“如果套在这里，δ取值是ε/|x1+x2|，定值除以正无穷大，δ必须是无穷小量，但是没法取，道理应该是这个道理，但是要怎么表述呢？”
“可以举个反例。”看秦菲在死胡同里纠结半天，超新星赶紧给个提醒。
“反例？”
“我们之前做过这样一个例题，证明sin（1/x）在（c，1）（c>0）是一致连续的，而在（0，1）连续但非一致连续，这两个题目是一个思路。”
“一个思路的话，那就是去x1=√（2kΠ+Π/2），x2=√（2kΠ-Π/2），这样|f（x1）-f（x2）|就会等于2，k是正整数，当k充分大，一定可以找到δ，但是不论δ多小，对于ε小于2的情况都是不符合的，所以sinx²在（-∞，+∞）上不一致连续。”
“是的，这么简单的做法要记住啊。”
“好的，这一章还剩一节，我会好好学的。”
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