第一百四十三章 欧拉函数和欧拉数论定理（数论）
虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的Cramer悖论就是一个漂亮的例子。
在描述Cramer悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。
两条直线交于一点。
反过来，过一点可以做两条不同的直线。
事实上，过一点可以做无数条直线。
确定一条直线需要两个点才够。
一切都很正常。
现在，考虑平面上的两条三次曲线。
由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到9组不同的解，因此两条三次曲线最多有9个交点。另外，三次曲线的一般形式为
x^3+a·x^2·y+b·x·y^2+c·y^3+d·x^2+e·x·y+f·y^2+g·x+h·y+i=0
这里面一共有9个未知系数。
代入曲线上的9组不同的(x，y)，我们就能得出9个方程，解出这9个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。
也就是说，平面上的9个点唯一地确定了一个三次曲线。
这次貌似就出问题了：“两条三次曲线交于9个点”和“9个点唯一地确定一条三次曲线”怎么可能同时成立呢？
既然这9个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？
在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。
Cramer和Euler是同一时代的两位大数学家。
他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。
上面这个问题就是1744年9月30日Cramer在给Euler的信中提出来的。
在信中，Cramer摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用9个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出9个交点。
Cramer向Euler提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？
Euler心中的疑问不比Cramer的少。
接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。
1748年，Euler发表了一篇题为Surunecontradictionapparentedansladoctrinedeslignescourbes（关于曲线规律中的一个明显的矛盾）的文章，尝试着解决这一难题。
正如大家所想，矛盾的源头就是，9个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。
Euler试图向人们解释这样一件事情：曲线上的9个点虽然给出了9个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那9个未知数，因为有些方程是废的。
在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。
Euler举了一个最简单的例子：方程组
3x−2y=5
4y=6x−10
表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以2再移项后就直接变成第二个方程了。
换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。
当然，这只是一个最为简单的例子。
在当时，真正让人大开眼界的则是Euler文中给出的三元一次方程组：
2x−3y+5z=8
3x−5y+7z=9
x−y+3z=7
这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。
因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。
Euler还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。
类似地，9个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三个方程的和。
究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？
Euler承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。
此时大家或许能体会到，Euler提出的这些遗留问题太具启发性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。
包括Cramer在内的数学家们沿着Euler的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。
没错，这个Cramer正是后来提出线性代数一大基本定理——Cramer法则——的那个人。
在描述Cramer悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。
两条直线交于一点。
反过来，过一点可以做两条不同的直线。
事实上，过一点可以做无数条直线。
确定一条直线需要两个点才够。
一切都很正常。
现在，考虑平面上的两条三次曲线。
由于将两个二元三次方程联立求解，最多可以得到9组不同的解，因此两条三次曲线最多有9个交点。另外，三次曲线的一般形式为
x^3+a·x^2·y+b·x·y^2+c·y^3+d·x^2+e·x·y+f·y^2+g·x+h·y+i=0
这里面一共有9个未知系数。
代入曲线上的9组不同的(x，y)，我们就能得出9个方程，解出这9个未知系数，恢复出这个三次曲线的原貌。
也就是说，平面上的9个点唯一地确定了一个三次曲线。
这次貌似就出问题了：“两条三次曲线交于9个点”和“9个点唯一地确定一条三次曲线”怎么可能同时成立呢？
既然这9个点是两条三次曲线所共有的，那它们究竟会“唯一地”确定出哪条曲线呢？
在没有线性代数的年代，这是一个令人匪夷所思的问题。
Cramer和Euler是同一时代的两位大数学家。
他们曾就代数曲线问题有过不少信件交流。
上面这个问题就是1744年9月30日Cramer在给Euler的信中提出来的。
在信中，Cramer摆出了两个稍作思考便能看出显然成立的事实：一条三次曲线能用9个点唯一地确定下来，两条三次曲线可能产生出9个交点。
Cramer向Euler提出了自己的疑问：这两个结论怎么可能同时成立呢？
Euler心中的疑问不比Cramer的少。
接下来的几年里，他都在寻找这个矛盾产生的源头。
1748年，Euler发表了一篇题为Surunecontradictionapparentedansladoctrinedeslignescourbes（关于曲线规律中的一个明显的矛盾）的文章，尝试着解决这一难题。
正如大家所想，矛盾的源头就是，9个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。
Euler试图向人们解释这样一件事情：曲线上的9个点虽然给出了9个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那9个未知数，因为有些方程是废的。
在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。
Euler举了一个最简单的例子：方程组
3x−2y=5
4y=6x−10
表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以2再移项后就直接变成第二个方程了。
换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。
当然，这只是一个最为简单的例子。
在当时，真正让人大开眼界的则是Euler文中给出的三元一次方程组：
2x−3y+5z=8
3x−5y+7z=9
x−y+3z=7
这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。
因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。
Euler还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。
类似地，9个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三个方程的和。
究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？
Euler承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。
此时大家或许能体会到，Euler提出的这些遗留问题太具启发性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。
包括Cramer在内的数学家们沿着Euler的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。
没错，这个Cramer正是后来提出线性代数一大基本定理——Cramer法则——的那个人。
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