第六百四十八章 舒伯特（Schubert）计数
匹兹堡大学的数学家ThomasHales评价道，他于1998年证明了在三维空间中，球体的最密堆积法是金字塔型。
2016年，瑞士洛桑联邦理工学院的MarynaViazovska说：“我找出了在8维和24维空间中大小相等球体的最密堆积法。”
布朗大学的数学家RichardSchwartz说有点懵，说：“为什么要研究这个？”
MarynaViazovska说：“解决上述问题的构型，还可以用来解决无数个不重合点的最佳排列问题。”
RichardSchwartz说：“能说的清晰一点吗？举个例子。”
MarynaViazovska说：“这些点可以是无限多个相互排斥的电子的集合，它们需要达到最低能量构型；还可以代表溶液中具有聚合物长链的中心，它们需要避免与其他聚合物碰撞。”
RichardSchwartz说：“为什么研究8维和24维，这个不能在任何一个维度通用吗？”
MarynaViazovska说：“在大多数维度中，这都是不太可能的。”MarynaViazovska觉得，证明普遍最优性要比解决球体堆积问题困难得多。这是因为普遍最优性同时包含无数不同问题，而这些问题本身也很难解决。在球体堆积问题中，只用考虑每个球体附近球的位置；但是对于分散在空间中的电子，不管相距多远，每个电子还会与所有其他电子相互作用。
但是，8维和24维是例外。它们各自包含一个特殊的高度对称的点构型，能同时解决所有问题。用数学语言来说，这两种构型是‘普遍最优的’。”
RichardSchwartz说：“有其他维度的被解决吗？”
MarynaViazovska说：“8维、24维与1维一同成为了已知具有普遍最优构型的维度。数学家怀疑二维平面上的等边三角形晶格也是一个普遍最优构型，但是没有证据。”
RichardSchwartz说：“我们熟知的三维空间的呢？”
MarynaViazovska说：“三维空间则复杂得多：不同情形中存在不同的最优点构型，而对于某些问题，数学家对它们的最优构型甚至毫无头绪。”
RichardSchwartz不知道为何数学宇宙会这样古怪。
纽约大学的数学家SylviaSerfaty说：“你还没见过更加古怪的呢。8和24维的表现会与7、18或25维不同。在不同的维度里，物体的堆积方式是不同的。”
RichardSchwartz说：“这如何去得知的？”
SylviaSerfaty说：“考虑一个更高维度的球体，将它定义为与某一中心点等距的点的集合。如果比较球体与能装下它的最小立方体的体积，当维度增加时，球体占据立方体的体积比越小。如果你想把一个8维的足球装进最小的立方体盒子，那么这个球只占盒子体积的不到2%，剩下的空间全部被浪费了。”
RichardSchwartz说：“简直不敢想，在三维空间里，球体占方块总体积那是很大的。”
SylviaSerfaty说：“在所有高于3的维度中，构建一个类似于金字塔堆积的结构都是可能的，并且随着维度的增加，球体之间的空隙会增大。当达到8维时，空隙突然增大到足以将新的球体放入。这就产生了一种被称为E8晶格的高度对称构型。同样，在24维中，会产生Leech晶格，可以将额外的球体放入另一个已被研究透彻的球体堆积空隙中。”
直到2016年，Viazovska证明了这两种晶格是最优的球体堆积法。
Viazovska的E8证明只有短短23页。
她的论证核心是找出一个“魔法”函数，以证明E8是球体堆积的最优方式。
Viazovska的魔法函数很强大，甚至超乎预期。
球体堆积问题只关心附近点之间的相互作用，但是Viazovska的方法似乎也适用于远程相互作用，例如电子之间的相互作用。
要证明空间中某种点的构型是普遍最优的，必须先指定所讨论的问题体系。
不存在对所有目标都是最优的点的构型，例如，当引力作用于点上时，最低能量的构型不是任何一种晶格，而是所有点都位于同一个点上的大规模堆积。
Viazovska、Cohn和他们的合作者关注的是斥力体系。
准确地说，他们考虑的条件是完全单调的，即点之间的距离越近，斥力越强。
这一体系包括物理世界的众多常见力，例如电荷的库仑平方反比定律。
球体堆积问题属于这一体系的边缘问题，只要把球体不重叠的条件转换为当两球中心距小于直径时，会出现无穷大的斥力就可以了。
对于这些完全单调的力，问题就变成：对于无限多的粒子集合，其最低能量构型，或者说“基态”是什么。
2006年，Cohn和Kumar通过比较能量函数与具有良好性质的较小“辅助”函数，开发了一种求基态能量下限的方法。
他们发现每个维度都存在无限多的辅助函数，但无法确定哪个是最好的。
在8和24维中证明普遍最优性的五位论文作者：从左上顺时针分别为HenryCohn，AbhinavKumar，MarynaViazovska，StephenMiller和DanyloRadchenko。
Cohn和Kumar发现在大多数维度中，他们找到的数值边界与最广为人知的构型的能量大相径庭。但是在8和24维中，Cohn和Kumar尝试模拟了所有的斥力，其数值边界与E8和Leech晶格的能量都惊人地相似。自然，接下来的疑问就是，对于任何给定的斥力，是否存在一个完美的辅助函数，其给出的边界与E8或Leech晶格能量完全匹配。
对于球体堆积问题，这正是Viazovska三年前的工作：她在模函数中找到了完美的“魔法”辅助函数，模函数的特殊对称性使它们数世纪以来一直是数学家的研究对象。
当涉及到其他排斥点问题，例如电子问题时，每个魔法函数需要满足的特性是已知的：其必须在特定点上具有特殊值，而其傅立叶变换（用于量化函数的固有频率）则需要在其他点上具有特殊值。研究人员只是不知道这样的函数是否存在。
通常，构造一个在某些点上有期望效果的函数很简单，但是同时控制函数及其傅立叶变换是非常困难的。Cohn说：“当你强行调整它们中的一个时，另一个总会与你的期望背道而驰。”
事实上，这一特性属于物理中著名的不确定原理。海森堡不确定原理就是这样一个特例，因为一个粒子的动量波是其位置波的傅立叶变换。
对于8或24维中的斥力，Viazovska大胆地推测：研究团队想要在他们的魔法函数上施加的边界限制，及其傅立叶变换都恰好落在可能和不可能之间的界线上。她怀疑，再多一点限制，就不可能存在这样的函数；再少一点限制，则可能存在太多函数。而在团队所研究的条件下，恰好只有一个函数完全合适。
与E8和Leech晶格不同，二维三角形晶格在自然界中无处不在，从蜂窝结构到超导体中的漩涡状排列均在此列。
在大量的实验和模拟基础上，物理学家们提出假设，这一晶格在广泛的范围中都是最佳的。
除8和24维之外，二维是唯一一个Cohn和Kumar的数值下界可以良好运作的维度。这强烈暗示了二维中应该也存在魔法函数。
但是，没有人能给出三角形晶格普遍最优的概念解释，而这有望由数学证明解答。
2016年，瑞士洛桑联邦理工学院的MarynaViazovska说：“我找出了在8维和24维空间中大小相等球体的最密堆积法。”
布朗大学的数学家RichardSchwartz说有点懵，说：“为什么要研究这个？”
MarynaViazovska说：“解决上述问题的构型，还可以用来解决无数个不重合点的最佳排列问题。”
RichardSchwartz说：“能说的清晰一点吗？举个例子。”
MarynaViazovska说：“这些点可以是无限多个相互排斥的电子的集合，它们需要达到最低能量构型；还可以代表溶液中具有聚合物长链的中心，它们需要避免与其他聚合物碰撞。”
RichardSchwartz说：“为什么研究8维和24维，这个不能在任何一个维度通用吗？”
MarynaViazovska说：“在大多数维度中，这都是不太可能的。”MarynaViazovska觉得，证明普遍最优性要比解决球体堆积问题困难得多。这是因为普遍最优性同时包含无数不同问题，而这些问题本身也很难解决。在球体堆积问题中，只用考虑每个球体附近球的位置；但是对于分散在空间中的电子，不管相距多远，每个电子还会与所有其他电子相互作用。
但是，8维和24维是例外。它们各自包含一个特殊的高度对称的点构型，能同时解决所有问题。用数学语言来说，这两种构型是‘普遍最优的’。”
RichardSchwartz说：“有其他维度的被解决吗？”
MarynaViazovska说：“8维、24维与1维一同成为了已知具有普遍最优构型的维度。数学家怀疑二维平面上的等边三角形晶格也是一个普遍最优构型，但是没有证据。”
RichardSchwartz说：“我们熟知的三维空间的呢？”
MarynaViazovska说：“三维空间则复杂得多：不同情形中存在不同的最优点构型，而对于某些问题，数学家对它们的最优构型甚至毫无头绪。”
RichardSchwartz不知道为何数学宇宙会这样古怪。
纽约大学的数学家SylviaSerfaty说：“你还没见过更加古怪的呢。8和24维的表现会与7、18或25维不同。在不同的维度里，物体的堆积方式是不同的。”
RichardSchwartz说：“这如何去得知的？”
SylviaSerfaty说：“考虑一个更高维度的球体，将它定义为与某一中心点等距的点的集合。如果比较球体与能装下它的最小立方体的体积，当维度增加时，球体占据立方体的体积比越小。如果你想把一个8维的足球装进最小的立方体盒子，那么这个球只占盒子体积的不到2%，剩下的空间全部被浪费了。”
RichardSchwartz说：“简直不敢想，在三维空间里，球体占方块总体积那是很大的。”
SylviaSerfaty说：“在所有高于3的维度中，构建一个类似于金字塔堆积的结构都是可能的，并且随着维度的增加，球体之间的空隙会增大。当达到8维时，空隙突然增大到足以将新的球体放入。这就产生了一种被称为E8晶格的高度对称构型。同样，在24维中，会产生Leech晶格，可以将额外的球体放入另一个已被研究透彻的球体堆积空隙中。”
直到2016年，Viazovska证明了这两种晶格是最优的球体堆积法。
Viazovska的E8证明只有短短23页。
她的论证核心是找出一个“魔法”函数，以证明E8是球体堆积的最优方式。
Viazovska的魔法函数很强大，甚至超乎预期。
球体堆积问题只关心附近点之间的相互作用，但是Viazovska的方法似乎也适用于远程相互作用，例如电子之间的相互作用。
要证明空间中某种点的构型是普遍最优的，必须先指定所讨论的问题体系。
不存在对所有目标都是最优的点的构型，例如，当引力作用于点上时，最低能量的构型不是任何一种晶格，而是所有点都位于同一个点上的大规模堆积。
Viazovska、Cohn和他们的合作者关注的是斥力体系。
准确地说，他们考虑的条件是完全单调的，即点之间的距离越近，斥力越强。
这一体系包括物理世界的众多常见力，例如电荷的库仑平方反比定律。
球体堆积问题属于这一体系的边缘问题，只要把球体不重叠的条件转换为当两球中心距小于直径时，会出现无穷大的斥力就可以了。
对于这些完全单调的力，问题就变成：对于无限多的粒子集合，其最低能量构型，或者说“基态”是什么。
2006年，Cohn和Kumar通过比较能量函数与具有良好性质的较小“辅助”函数，开发了一种求基态能量下限的方法。
他们发现每个维度都存在无限多的辅助函数，但无法确定哪个是最好的。
在8和24维中证明普遍最优性的五位论文作者：从左上顺时针分别为HenryCohn，AbhinavKumar，MarynaViazovska，StephenMiller和DanyloRadchenko。
Cohn和Kumar发现在大多数维度中，他们找到的数值边界与最广为人知的构型的能量大相径庭。但是在8和24维中，Cohn和Kumar尝试模拟了所有的斥力，其数值边界与E8和Leech晶格的能量都惊人地相似。自然，接下来的疑问就是，对于任何给定的斥力，是否存在一个完美的辅助函数，其给出的边界与E8或Leech晶格能量完全匹配。
对于球体堆积问题，这正是Viazovska三年前的工作：她在模函数中找到了完美的“魔法”辅助函数，模函数的特殊对称性使它们数世纪以来一直是数学家的研究对象。
当涉及到其他排斥点问题，例如电子问题时，每个魔法函数需要满足的特性是已知的：其必须在特定点上具有特殊值，而其傅立叶变换（用于量化函数的固有频率）则需要在其他点上具有特殊值。研究人员只是不知道这样的函数是否存在。
通常，构造一个在某些点上有期望效果的函数很简单，但是同时控制函数及其傅立叶变换是非常困难的。Cohn说：“当你强行调整它们中的一个时，另一个总会与你的期望背道而驰。”
事实上，这一特性属于物理中著名的不确定原理。海森堡不确定原理就是这样一个特例，因为一个粒子的动量波是其位置波的傅立叶变换。
对于8或24维中的斥力，Viazovska大胆地推测：研究团队想要在他们的魔法函数上施加的边界限制，及其傅立叶变换都恰好落在可能和不可能之间的界线上。她怀疑，再多一点限制，就不可能存在这样的函数；再少一点限制，则可能存在太多函数。而在团队所研究的条件下，恰好只有一个函数完全合适。
与E8和Leech晶格不同，二维三角形晶格在自然界中无处不在，从蜂窝结构到超导体中的漩涡状排列均在此列。
在大量的实验和模拟基础上，物理学家们提出假设，这一晶格在广泛的范围中都是最佳的。
除8和24维之外，二维是唯一一个Cohn和Kumar的数值下界可以良好运作的维度。这强烈暗示了二维中应该也存在魔法函数。
但是，没有人能给出三角形晶格普遍最优的概念解释，而这有望由数学证明解答。
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