第75章 趋近于…趋近于
安娜二人装了智慧核心，那么随着他们的意志不断提升，智慧核心与心灵计算机自然也能加装更多的计算单元，提升计算能力，他们的思维也会不断强大下去。
那么……正常的学习路径就完全不够看了。安娜必须表现出自己的‘天才’之处，才能得到圣亚比学院的大力栽培，外界的营养供给才能跟得上自己的需求。
那么，怎么表现自己的‘天才’呢？
魔纹体系中，几何学是一门十分重要的学科，然而圣玛大陆的数学教育实在太差，那么从这个方面入手，无疑会容易许多。
那么，表现自己，先从数学开始。
首秀，就是这堂‘解析几何课’了。
圣玛大陆将函数图像的这一块也划到了解析几何的部分，而今天讲的内容，就是函数图像的‘求面积’问题。
其实就是定积分的问题。
上一节课，马尔斯老头布置的作业就是计算y=x^2与横轴和直线x=1围成图形的面积。
这个问题是一个十分简单的定积分问题，然而，圣玛大陆的人们并没有定积分这个概念。
他们是怎么解决问题的呢？看他们的数学教材就知道了。
很简单，画格子逼近法。
他们在平面直角坐标系上画格子，首先确定一个过剩近似值和一个不足近似值，然后再在画出的格子的基础上，将被曲边分割的那些格子拿出来，在其中继续划分出更小的格子，将这些格子的数据累加，得到更加精确的过剩近似值与不足近似值。
如此往复，不断将小格子单独画出来，放大，经过计算，得出粗略的曲线，然后数格子，算面积，那些不确定的地方再将自变量代进去算一下，然后数格子……
或许这就是丽莎会睡着的原因了，毕竟密密麻麻的格子与密密麻麻的绵羊有时没有太大区别。
就这么数啊数，渐渐也就得出了近似的答案。
上次马尔斯老头布置的作业，就是要求学生们将那个面积的小数部分精确到第5位。
虽然大家都知道面积应该是1/3，那么答案应该是0.33333。
可马尔斯看重的是过程步骤，单纯的答案大家谁都知道。
可怜的丽莎课后要被留堂了，不过安娜知道自己待会儿说不定也会被留下，而且可能会留很久……
“刚才我检查同学们的作业，大家大部分都做得很好，不过还有部分同学的作业有点不足之处，所以要注意了。”马尔斯检查完大家的作业，站在讲台上笑呵呵说道：“刚才我在检查作业的时候，发现一位同学用了一种与我们许多人都不同的方法，思路很新奇，现在我想请她上来与同学们分享一下自己的思考过程。”
说完，马尔斯的目光就投向了安娜。
安娜吸了一口气，站起来，也没拿自己的作业本，就直接走上了讲台。
先是对马尔斯老头鞠了一躬，然后转身面向大家鞠了一躬。
“大家好，我很荣幸能够与大家分享我的一些想法。”
安娜声音清脆，镇定自若，面上带着迷一般的微笑。
说完，她就转身，拿起石膏笔就在黑板上画起来。
那是三个y=x^2的函数图像。
“大家看，如果我将这0到1的一段分成三份，那么每一份长度就是1/3。我用每一份的右端点作为高，以1/3的长度为宽，画出三个矩形……”
“如果分成了N份，那么每个矩形的宽就是1/N，第i个矩形的高就是(i/N)^2，那么第i个矩形的面积就是(i^2)/(N^3)……”
安娜一边说，一边画着，下面的同学到这里还是能听得懂的。
而马尔斯在一旁则是看着点点头，至少到了这里，安娜是没有出错的，从这一点就可以看出，她的思路到这里为止还是很清晰缜密的。
安娜继续讲着。
“当变量N越来越大的时候，也就是我们将0到1分成越来越多份的时候，每个矩形的宽也就越来越小了。”
“而这N份之中每一份两端的横轴坐标的平方，就是它们对应的函数值，会越来越接近，因为长度在不断变短，横轴坐标会越来越接近，函数值也就越来越接近了。”
说着，安娜看向马尔斯老头，只见马尔斯老头点点头，示意她说下去。
而在讲台下面，少数的几个学生也点点头，还有几个沉思了一会儿后也点头，不过还有超过一半的人突然就蒙了。
脑子有点转不过来。
安娜再次在黑板上写起来，这次她写下了一个式子：
1^2/N^3+2^2/N^3+……+N^2/N^3
=(1^2+2^2+……+N^2)/N^3
在写下式子的同时，她一边说：“既然随着N在不断增大，每份两端的函数值的差越来越小，那么每个画出的小矩形，与其对应的曲边梯形的面积差也会越来越小。”
“那么，当N趋近无穷大时，这些小矩形的面积之和，与那些小曲边梯形的面积之和的差就趋近于无穷小。”
说到这，安娜瞥了一眼马尔斯老头，发现马尔斯老头的神情从一开始的轻松自在，突然就变成了沉思、严肃。
她继续挂着迷之微笑，继续讲解。
“所以当N趋近于无穷大时，小矩形的面积之和趋近于我们要求的面积。”
说着，她指了指刚刚写好的那个式子。
“这就是小矩形的面积之和。”
安娜转头看向身后，只见一片懵逼的眼神，再看看马尔斯老头，眼中神色更加认真了。
“所以，我们只要求这个无穷个小矩形的面积之和。”
“而由一千年前沃尔巢帝国的费尼洛曼德思旺先生得出的结论，1^2+2^2+……N^2等于N(N+1)(2N+1)/6。”
“那么代入这个式子中，得到1/3+1/2N+1/6N^2。而由于N趋近于无穷，我们可以知道1/N和1/N^2都趋近于0，那么当N趋近于无穷大时，这个式子的数值就趋近于1/3。”
安娜长呼出一口气，放下石膏笔，看向马尔斯老头。
马尔斯老头眼中渐渐出现震惊，仿佛发现了什么可怕的事情。
安娜看了一眼，就安心下来。
其实，什么迷之微笑，什么镇定自若，都是假的……
从来没有这么突出过，有点慌。
……
那么……正常的学习路径就完全不够看了。安娜必须表现出自己的‘天才’之处，才能得到圣亚比学院的大力栽培，外界的营养供给才能跟得上自己的需求。
那么，怎么表现自己的‘天才’呢？
魔纹体系中，几何学是一门十分重要的学科，然而圣玛大陆的数学教育实在太差，那么从这个方面入手，无疑会容易许多。
那么，表现自己，先从数学开始。
首秀，就是这堂‘解析几何课’了。
圣玛大陆将函数图像的这一块也划到了解析几何的部分，而今天讲的内容，就是函数图像的‘求面积’问题。
其实就是定积分的问题。
上一节课，马尔斯老头布置的作业就是计算y=x^2与横轴和直线x=1围成图形的面积。
这个问题是一个十分简单的定积分问题，然而，圣玛大陆的人们并没有定积分这个概念。
他们是怎么解决问题的呢？看他们的数学教材就知道了。
很简单，画格子逼近法。
他们在平面直角坐标系上画格子，首先确定一个过剩近似值和一个不足近似值，然后再在画出的格子的基础上，将被曲边分割的那些格子拿出来，在其中继续划分出更小的格子，将这些格子的数据累加，得到更加精确的过剩近似值与不足近似值。
如此往复，不断将小格子单独画出来，放大，经过计算，得出粗略的曲线，然后数格子，算面积，那些不确定的地方再将自变量代进去算一下，然后数格子……
或许这就是丽莎会睡着的原因了，毕竟密密麻麻的格子与密密麻麻的绵羊有时没有太大区别。
就这么数啊数，渐渐也就得出了近似的答案。
上次马尔斯老头布置的作业，就是要求学生们将那个面积的小数部分精确到第5位。
虽然大家都知道面积应该是1/3，那么答案应该是0.33333。
可马尔斯看重的是过程步骤，单纯的答案大家谁都知道。
可怜的丽莎课后要被留堂了，不过安娜知道自己待会儿说不定也会被留下，而且可能会留很久……
“刚才我检查同学们的作业，大家大部分都做得很好，不过还有部分同学的作业有点不足之处，所以要注意了。”马尔斯检查完大家的作业，站在讲台上笑呵呵说道：“刚才我在检查作业的时候，发现一位同学用了一种与我们许多人都不同的方法，思路很新奇，现在我想请她上来与同学们分享一下自己的思考过程。”
说完，马尔斯的目光就投向了安娜。
安娜吸了一口气，站起来，也没拿自己的作业本，就直接走上了讲台。
先是对马尔斯老头鞠了一躬，然后转身面向大家鞠了一躬。
“大家好，我很荣幸能够与大家分享我的一些想法。”
安娜声音清脆，镇定自若，面上带着迷一般的微笑。
说完，她就转身，拿起石膏笔就在黑板上画起来。
那是三个y=x^2的函数图像。
“大家看，如果我将这0到1的一段分成三份，那么每一份长度就是1/3。我用每一份的右端点作为高，以1/3的长度为宽，画出三个矩形……”
“如果分成了N份，那么每个矩形的宽就是1/N，第i个矩形的高就是(i/N)^2，那么第i个矩形的面积就是(i^2)/(N^3)……”
安娜一边说，一边画着，下面的同学到这里还是能听得懂的。
而马尔斯在一旁则是看着点点头，至少到了这里，安娜是没有出错的，从这一点就可以看出，她的思路到这里为止还是很清晰缜密的。
安娜继续讲着。
“当变量N越来越大的时候，也就是我们将0到1分成越来越多份的时候，每个矩形的宽也就越来越小了。”
“而这N份之中每一份两端的横轴坐标的平方，就是它们对应的函数值，会越来越接近，因为长度在不断变短，横轴坐标会越来越接近，函数值也就越来越接近了。”
说着，安娜看向马尔斯老头，只见马尔斯老头点点头，示意她说下去。
而在讲台下面，少数的几个学生也点点头，还有几个沉思了一会儿后也点头，不过还有超过一半的人突然就蒙了。
脑子有点转不过来。
安娜再次在黑板上写起来，这次她写下了一个式子：
1^2/N^3+2^2/N^3+……+N^2/N^3
=(1^2+2^2+……+N^2)/N^3
在写下式子的同时，她一边说：“既然随着N在不断增大，每份两端的函数值的差越来越小，那么每个画出的小矩形，与其对应的曲边梯形的面积差也会越来越小。”
“那么，当N趋近无穷大时，这些小矩形的面积之和，与那些小曲边梯形的面积之和的差就趋近于无穷小。”
说到这，安娜瞥了一眼马尔斯老头，发现马尔斯老头的神情从一开始的轻松自在，突然就变成了沉思、严肃。
她继续挂着迷之微笑，继续讲解。
“所以当N趋近于无穷大时，小矩形的面积之和趋近于我们要求的面积。”
说着，她指了指刚刚写好的那个式子。
“这就是小矩形的面积之和。”
安娜转头看向身后，只见一片懵逼的眼神，再看看马尔斯老头，眼中神色更加认真了。
“所以，我们只要求这个无穷个小矩形的面积之和。”
“而由一千年前沃尔巢帝国的费尼洛曼德思旺先生得出的结论，1^2+2^2+……N^2等于N(N+1)(2N+1)/6。”
“那么代入这个式子中，得到1/3+1/2N+1/6N^2。而由于N趋近于无穷，我们可以知道1/N和1/N^2都趋近于0，那么当N趋近于无穷大时，这个式子的数值就趋近于1/3。”
安娜长呼出一口气，放下石膏笔，看向马尔斯老头。
马尔斯老头眼中渐渐出现震惊，仿佛发现了什么可怕的事情。
安娜看了一眼，就安心下来。
其实，什么迷之微笑，什么镇定自若，都是假的……
从来没有这么突出过，有点慌。
……
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