1、概率的迷雾
在我们的日常生活中，经常会遇到不确定的事物，最简单的例子莫过于抛硬币正面向上的可能性，其次还有袋子里有数目不等的红球和黑球，摸出红球的可能性，某次考试成绩在90分以上的可能性等等。
概率的概念到底是一个客观的概念还是一个主观的观念，是一个值得认真思考并讨论的问题。在古典的科学领域里，概率是一个蕴含在系统内部客观存在的事物，抛硬币正面向上的概率在抛硬币以前就已经存在，只有当我们抛掷无数次硬币并统计结果之后，才能逐渐逼近并发现这个概率的本来面目，而这个统计值是不随人的意志而转移的。
人们发现如果大量重复某个随机实验，在这大量的随机实验背后，存在某种几乎必然的规律起着某种支配作用。而这种规律后来被称为大数定律，大数定律第一次将概率论与决定论，随机性与必然性在某种程度上统一了起来。
当两次随机实验彼此没有任何关联时可以认为是相互独立的，此时的概率规则比较简单，两个硬币同时正面向上的概率是每个硬币单独正面向上概率的乘积。然而如果两个随机事件之间存在关联，那么事件A会影响到事件B发生的概率，反之亦然。此时就需要引入条件概率的概念。
事件A或B单独发生的概率称为先验概率，而在事件A已经发生后事件B发生的概率则称为条件概率，计算条件概率有一个著名的贝叶斯公式，它可以帮助我们在知道事件结果发生的概率的情况下计算事件原因发生的概率。也就是说，对于一系列存在相互关联的随机事件来说，如果我们获取了某个随机事件的部分或全部信息，就会改变与之存在关联的其它事件的概率。当我们对某个事件知道的越多，与之关联的事件不确定性也会越小。
这样的图景会引起一系列的思考，例如，某个事件的概率是否与实验者自身的知识量有关。为什么两个同班同学面对同样的考试，一个总是得90分以上，而另一个总是不及格。再比如，某人只知道从A地到B地有两条路，那么他会认为自己走其中一条路的概率是1/2，而另一个人知道其中一条路近，那么他会认为自己走近路的可能性会大于1/2。即使在最简单的抛硬币实验中，如果一个是普通人，而另一个是那个在古典物理学中通晓一切的拉普拉斯妖呢？对于拉普拉斯妖来说，他不仅可以准确的预测每个硬币抛出后的结果，甚至可以通过某种途径（比如改变初始条件）来改变硬币落地后的实验结果。
法国学者贝特朗于1899年提出了一个后来称之为贝特朗悖论的问题：在一个给定的圆内所有的弦中任取一条弦，求该弦的长度大于圆的内接正三角形边长的概率。
如果在垂直于等边三角形中任意一条边的直径上随机取一个点，同时做垂直于这条直径的弦，可以求出概率为1/2；如果任取等边三角形的一个顶点，做过该顶点的圆的弦，可以求出概率为1/3；如果做等边三角形的内切圆，当弦的中点在内切圆内时，即为所求，内切圆面积是大圆面积的1/4，由此可以求出概率为1/4。
通过选择不同的等概率假设，可以计算出三个不同的概率，而每种等概率假设都似乎是显而易见没有问题的。这样一来，同一个事件导致三个不同的概率结果，而且这三个结果目前由公理化概率论看来都是正确的，导致不同概率的原因是在三种情况中选用了不同的样本空间，因此类似于条件概率，在不同条件下导致了不同的概率。
也许我们会说，概率这一概念本身就是某种不确定性的量度，是数学世界中的一个观念而已，只要它不影响我们真实的物理世界，对同一个事件，不同的人有不同的理解又有什么关系。可事实是，我们真实的物理世界的确就是建立在概率这一最基本概念之上的，当我们深入微观世界时，会发现这里遵从的是量子力学的规律，量子力学创始人之一的玻恩告诉我们，波函数的模方是系统的概率密度函数，当我们观测某个系统时，波函数会随机的坍缩到某个本征态上，我们只能预测事件发生的概率，这被称之为玻恩定则。玻恩定则是独立于量子力学基本方程的一项公理，它描述了系统在被观察者观测时的物理过程。
我们刚刚通过分析得到，对同一个系统，掌握信息量不同的观察者会得到系统不同的概率分布，而且通过贝特朗悖论，同一个系统有不同的概率分布似乎也是可能的。如果仅仅在数学世界里讨论，似乎没什么问题，我们只是感觉上有点诧异而已，稍稍改变一下观念，这样的结果也是可以接受的。可问题是，自从玻恩定则提出之后，概率如今已经不仅仅是一个数学概念，它已经升级为一种物理实在，一种构造物理学大厦最基本的砖块，这迫使我们不得不继续深入思考概率这一概念。
如果说掌握信息量不同的观察者面对同一个系统，会得到不同的概率分布，那么如果两个观察者同时观测同一个系统呢？究竟哪个观察者得到的概率分布代表的是真实的物理世界呢？
最能代表量子力学的实验就是经典的电子双缝干涉，如果不知道电子从哪个缝穿过，屏幕上的概率分布是干涉图像，而如果知道电子从哪个缝穿过，概率分布则没有干涉图像。如果有两个观察者，彼此不知道对方的存在，分别单独观测屏幕图像，其中一个不知道电子穿过哪个缝，记做观察者A，而另一个通过额外的观察手段知道电子穿过哪个缝，记做观察者B，那显然，两个观察者都会观测到屏幕上应该显示的是没有干涉图像。这样我们可以得到一个结论，真实的物理世界表现出来的概率分布由掌握信息量大的观察者决定。
如果观察者A是第一次做电子双缝实验而且没有学过量子论，他无法获得电子究竟是通过了一条缝还是同时通过两条缝并相互干涉的信息，但如果他通过做实验或学习量子论知识，就可以由屏幕上没有干涉条纹这一信息判断出电子实际上穿过了其中一条缝，而且一定存在某个他不知道的额外的观察者的存在。对于观察者A来说，他不是通过直接观察电子穿过哪个缝来获取信息，而是通过以往实验的经验或者学习知识来推断并提炼出这一信息。
以上的推理过程告诉我们，通过努力学习和实践，获取大量的知识和经验不仅可以帮助我们在面对问题时更好的选择、判断和决策，更能在更大程度上影响并改变这个与我们相互纠缠的世界。
概率的概念到底是一个客观的概念还是一个主观的观念，是一个值得认真思考并讨论的问题。在古典的科学领域里，概率是一个蕴含在系统内部客观存在的事物，抛硬币正面向上的概率在抛硬币以前就已经存在，只有当我们抛掷无数次硬币并统计结果之后，才能逐渐逼近并发现这个概率的本来面目，而这个统计值是不随人的意志而转移的。
人们发现如果大量重复某个随机实验，在这大量的随机实验背后，存在某种几乎必然的规律起着某种支配作用。而这种规律后来被称为大数定律，大数定律第一次将概率论与决定论，随机性与必然性在某种程度上统一了起来。
当两次随机实验彼此没有任何关联时可以认为是相互独立的，此时的概率规则比较简单，两个硬币同时正面向上的概率是每个硬币单独正面向上概率的乘积。然而如果两个随机事件之间存在关联，那么事件A会影响到事件B发生的概率，反之亦然。此时就需要引入条件概率的概念。
事件A或B单独发生的概率称为先验概率，而在事件A已经发生后事件B发生的概率则称为条件概率，计算条件概率有一个著名的贝叶斯公式，它可以帮助我们在知道事件结果发生的概率的情况下计算事件原因发生的概率。也就是说，对于一系列存在相互关联的随机事件来说，如果我们获取了某个随机事件的部分或全部信息，就会改变与之存在关联的其它事件的概率。当我们对某个事件知道的越多，与之关联的事件不确定性也会越小。
这样的图景会引起一系列的思考，例如，某个事件的概率是否与实验者自身的知识量有关。为什么两个同班同学面对同样的考试，一个总是得90分以上，而另一个总是不及格。再比如，某人只知道从A地到B地有两条路，那么他会认为自己走其中一条路的概率是1/2，而另一个人知道其中一条路近，那么他会认为自己走近路的可能性会大于1/2。即使在最简单的抛硬币实验中，如果一个是普通人，而另一个是那个在古典物理学中通晓一切的拉普拉斯妖呢？对于拉普拉斯妖来说，他不仅可以准确的预测每个硬币抛出后的结果，甚至可以通过某种途径（比如改变初始条件）来改变硬币落地后的实验结果。
法国学者贝特朗于1899年提出了一个后来称之为贝特朗悖论的问题：在一个给定的圆内所有的弦中任取一条弦，求该弦的长度大于圆的内接正三角形边长的概率。
如果在垂直于等边三角形中任意一条边的直径上随机取一个点，同时做垂直于这条直径的弦，可以求出概率为1/2；如果任取等边三角形的一个顶点，做过该顶点的圆的弦，可以求出概率为1/3；如果做等边三角形的内切圆，当弦的中点在内切圆内时，即为所求，内切圆面积是大圆面积的1/4，由此可以求出概率为1/4。
通过选择不同的等概率假设，可以计算出三个不同的概率，而每种等概率假设都似乎是显而易见没有问题的。这样一来，同一个事件导致三个不同的概率结果，而且这三个结果目前由公理化概率论看来都是正确的，导致不同概率的原因是在三种情况中选用了不同的样本空间，因此类似于条件概率，在不同条件下导致了不同的概率。
也许我们会说，概率这一概念本身就是某种不确定性的量度，是数学世界中的一个观念而已，只要它不影响我们真实的物理世界，对同一个事件，不同的人有不同的理解又有什么关系。可事实是，我们真实的物理世界的确就是建立在概率这一最基本概念之上的，当我们深入微观世界时，会发现这里遵从的是量子力学的规律，量子力学创始人之一的玻恩告诉我们，波函数的模方是系统的概率密度函数，当我们观测某个系统时，波函数会随机的坍缩到某个本征态上，我们只能预测事件发生的概率，这被称之为玻恩定则。玻恩定则是独立于量子力学基本方程的一项公理，它描述了系统在被观察者观测时的物理过程。
我们刚刚通过分析得到，对同一个系统，掌握信息量不同的观察者会得到系统不同的概率分布，而且通过贝特朗悖论，同一个系统有不同的概率分布似乎也是可能的。如果仅仅在数学世界里讨论，似乎没什么问题，我们只是感觉上有点诧异而已，稍稍改变一下观念，这样的结果也是可以接受的。可问题是，自从玻恩定则提出之后，概率如今已经不仅仅是一个数学概念，它已经升级为一种物理实在，一种构造物理学大厦最基本的砖块，这迫使我们不得不继续深入思考概率这一概念。
如果说掌握信息量不同的观察者面对同一个系统，会得到不同的概率分布，那么如果两个观察者同时观测同一个系统呢？究竟哪个观察者得到的概率分布代表的是真实的物理世界呢？
最能代表量子力学的实验就是经典的电子双缝干涉，如果不知道电子从哪个缝穿过，屏幕上的概率分布是干涉图像，而如果知道电子从哪个缝穿过，概率分布则没有干涉图像。如果有两个观察者，彼此不知道对方的存在，分别单独观测屏幕图像，其中一个不知道电子穿过哪个缝，记做观察者A，而另一个通过额外的观察手段知道电子穿过哪个缝，记做观察者B，那显然，两个观察者都会观测到屏幕上应该显示的是没有干涉图像。这样我们可以得到一个结论，真实的物理世界表现出来的概率分布由掌握信息量大的观察者决定。
如果观察者A是第一次做电子双缝实验而且没有学过量子论，他无法获得电子究竟是通过了一条缝还是同时通过两条缝并相互干涉的信息，但如果他通过做实验或学习量子论知识，就可以由屏幕上没有干涉条纹这一信息判断出电子实际上穿过了其中一条缝，而且一定存在某个他不知道的额外的观察者的存在。对于观察者A来说，他不是通过直接观察电子穿过哪个缝来获取信息，而是通过以往实验的经验或者学习知识来推断并提炼出这一信息。
以上的推理过程告诉我们，通过努力学习和实践，获取大量的知识和经验不仅可以帮助我们在面对问题时更好的选择、判断和决策，更能在更大程度上影响并改变这个与我们相互纠缠的世界。
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