28、分类
当我们面对大量纷繁复杂的知识时，怎样才能够在尽可能短的时间之内，迅速的掌握这些知识，理解它们的意义，并且找到它们的核心观念和精髓呢？这就如同走进了一个大房间，里面横七竖八的摆放着大量书籍。显然，我们首先应该将这些杂乱无章的书籍分门别类的整理好，摆放在排列好的架子上，当这些工作完成后，你就拥有了一个图书馆，可以在需要的时候，根据分类信息快速的查找到相应的书籍。当我们找到一本所需要的相关领域的书，应该怎样在尽可能短的时间之内，迅速理解这本书想要告诉我们的大致内容，理解它的意义，并快速找到它的核心概念呢？这时候，我们就需要拿出足够的时间，认真的多看几遍这本书的目录。
我们的头脑中同样需要建立起这样一座无形的图书馆，在我们的一生之中，每时每刻都会接触到大量的信息，这些信息可能来自教师，可能来自家人或朋友，可能来自网络或书籍，甚至可能来自散步时偶然的心得体会。总之，知识的来源是五花八门的，这样，我们的头脑中就充斥着大量杂乱信息。如果不加整理归纳，不仅遗忘的很快，而且需要的时候很难找到那些相关的信息。
这样一个将杂乱信息分门别类整理起来的过程有一个专有名词，叫做非结构化信息的结构化。结构化信息的好处就是非常便于理解、记忆和检索。对于非结构化信息，目前实用的经典方法也只是一条一条的检验，费时费力，效率极低。而最常见的结构化信息就是数据库，数据经过结构化之后，当需要查找时，就不需要遍历所有的可能性，只需要知道我们需要的信息属于哪个类别就可以了。
因此，对信息进行分类是一种实用的学习方法，当我们不自觉的将信息分类整理时，也就逐渐构造起了知识大厦的框架。很难想象像生物学这样的学科，如果没有对千差万别的各类动物、植物和微生物按照门、纲、目、科、属、种进行分类会是什么样子。也正是由于以共同性质进行分类是一种行之有效的方法，我们才会在见到一种以前从未见过的六腿生物时，很自信的宣称这是一种昆虫，并且罗列出一串它应该具有的性质。
也就是说，分类的方法可以让我们实现一种管中窥豹，可见一斑的能力，通过只字片语的信息片段，我们可以还原出一套完整的图像，虽然可能会存在一点偏差，但能从少的可怜的一点信息就能够连带获取更多的信息，已经能够让人印象深刻了。
其实在现实生活中，分类的思想无处不在，物质一般分为固体、液体和气体，能量分为动能、势能、化学能、内能、核能、太阳能等，元素可以依据最外层电子数在元素周期表中分为不同的族，化合物可分为有机物和无机物，而有机物和无机物也可以继续细分……这些形形色色的分类从数学的角度看，构成了一个个集合，集合的元素可以是更小的集合，也可以是普通元素。
正是由于现实生活中形形色色的事物可以通过某些属性进行分类，从而构成集合，所以集合的概念在数学中非常基础，可以应用到数学的各个分支和其它不同的领域。对事物进行分类往往是考虑和分析问题的第一步，而通过数学的强大工具，我们可以进一步对集合或者集合中的元素进行运算、操作和演算，从而更深刻的理解事物之间的深层联系。
集合的概念可以用一个形象直观、简单清晰的图像进行理解，也就是将集合看作一个圆圈，元素则是圈内的点。通常的集合是满足排中律的，即某个元素要么在集合内，要么不在集合内，这也是经典的分类方法之所以有效的原因。某个物件要么是个家具，要么不是，没有第三种可能，在这样一个强大的前提下，世界变得简单起来，我们总可以通过某种分类方式来获取大量的初步知识，构建起坚实的经典理论大厦，也正是在排中律成立的前提下，还原论才发展到了极致，通过分析组成事物的基本结构及基本结构之间的相互作用，就可以在很大程度上理解和预言整体的宏观性质。难怪当有人质疑排中律时，希尔伯特反驳道，禁止数学家使用排中律就像禁止拳击手使用拳击手套。
然而的确存在一些东西不能按照简单的分类方法来处理，模糊数学中有一类经典例子，它们的集合没有清晰的边界。一个人有多少根头发就不算是秃头了呢，或者多少粒沙子可以组成一个沙堆？在这里并没有一个明确的分界线，而只是存在一个模糊不清的有一定“厚度”的边界，这类集合称之为模糊集。
对于模糊集，我们至少还可以大概做出判断，尽管不知道精确的边界，但我们只要看一眼对面的人就可以基本判断出他是不是秃头。但是对于量子的叠加和纠缠现象，就没法找到集合的边界了。比如有一堆电子，我们把所有自旋向上的电子称为集合A，所有自旋向下的称作集合B，这样一来两个集合可能都是空集，因为或许所有的电子都处在叠加态，一个电子可能在这里，也可能不在这里，但是我们并没有穷尽所有的可能性，电子可能处在在这里和不在这里的叠加态，或者说既在这里又不在这里。
对于两个处于纠缠状态的系统，如果只考虑其中一个系统，那就是把一个整体强行切割为两部分，会丢失一些整体的性质，显然这里的某个子系统不是一个独立的集合，也没有清晰的边界。
从以上讨论可以看出，分类的思想无疑是一种重要的思维方式，可以有效缩短我们搜索知识的时间，提升学习效率，构建简洁优美的知识图像，对世界形成初步的概念和印象。但它并不是放之四海而皆准的，某些分类可能会不够合理，甚至一些系统无法分类，因此它也是有适用范围的，我们可以在大量的场景中自如的使用这一方法，但我们不应该满足于应用，而应该设法突破它。
我们的头脑中同样需要建立起这样一座无形的图书馆，在我们的一生之中，每时每刻都会接触到大量的信息，这些信息可能来自教师，可能来自家人或朋友，可能来自网络或书籍，甚至可能来自散步时偶然的心得体会。总之，知识的来源是五花八门的，这样，我们的头脑中就充斥着大量杂乱信息。如果不加整理归纳，不仅遗忘的很快，而且需要的时候很难找到那些相关的信息。
这样一个将杂乱信息分门别类整理起来的过程有一个专有名词，叫做非结构化信息的结构化。结构化信息的好处就是非常便于理解、记忆和检索。对于非结构化信息，目前实用的经典方法也只是一条一条的检验，费时费力，效率极低。而最常见的结构化信息就是数据库，数据经过结构化之后，当需要查找时，就不需要遍历所有的可能性，只需要知道我们需要的信息属于哪个类别就可以了。
因此，对信息进行分类是一种实用的学习方法，当我们不自觉的将信息分类整理时，也就逐渐构造起了知识大厦的框架。很难想象像生物学这样的学科，如果没有对千差万别的各类动物、植物和微生物按照门、纲、目、科、属、种进行分类会是什么样子。也正是由于以共同性质进行分类是一种行之有效的方法，我们才会在见到一种以前从未见过的六腿生物时，很自信的宣称这是一种昆虫，并且罗列出一串它应该具有的性质。
也就是说，分类的方法可以让我们实现一种管中窥豹，可见一斑的能力，通过只字片语的信息片段，我们可以还原出一套完整的图像，虽然可能会存在一点偏差，但能从少的可怜的一点信息就能够连带获取更多的信息，已经能够让人印象深刻了。
其实在现实生活中，分类的思想无处不在，物质一般分为固体、液体和气体，能量分为动能、势能、化学能、内能、核能、太阳能等，元素可以依据最外层电子数在元素周期表中分为不同的族，化合物可分为有机物和无机物，而有机物和无机物也可以继续细分……这些形形色色的分类从数学的角度看，构成了一个个集合，集合的元素可以是更小的集合，也可以是普通元素。
正是由于现实生活中形形色色的事物可以通过某些属性进行分类，从而构成集合，所以集合的概念在数学中非常基础，可以应用到数学的各个分支和其它不同的领域。对事物进行分类往往是考虑和分析问题的第一步，而通过数学的强大工具，我们可以进一步对集合或者集合中的元素进行运算、操作和演算，从而更深刻的理解事物之间的深层联系。
集合的概念可以用一个形象直观、简单清晰的图像进行理解，也就是将集合看作一个圆圈，元素则是圈内的点。通常的集合是满足排中律的，即某个元素要么在集合内，要么不在集合内，这也是经典的分类方法之所以有效的原因。某个物件要么是个家具，要么不是，没有第三种可能，在这样一个强大的前提下，世界变得简单起来，我们总可以通过某种分类方式来获取大量的初步知识，构建起坚实的经典理论大厦，也正是在排中律成立的前提下，还原论才发展到了极致，通过分析组成事物的基本结构及基本结构之间的相互作用，就可以在很大程度上理解和预言整体的宏观性质。难怪当有人质疑排中律时，希尔伯特反驳道，禁止数学家使用排中律就像禁止拳击手使用拳击手套。
然而的确存在一些东西不能按照简单的分类方法来处理，模糊数学中有一类经典例子，它们的集合没有清晰的边界。一个人有多少根头发就不算是秃头了呢，或者多少粒沙子可以组成一个沙堆？在这里并没有一个明确的分界线，而只是存在一个模糊不清的有一定“厚度”的边界，这类集合称之为模糊集。
对于模糊集，我们至少还可以大概做出判断，尽管不知道精确的边界，但我们只要看一眼对面的人就可以基本判断出他是不是秃头。但是对于量子的叠加和纠缠现象，就没法找到集合的边界了。比如有一堆电子，我们把所有自旋向上的电子称为集合A，所有自旋向下的称作集合B，这样一来两个集合可能都是空集，因为或许所有的电子都处在叠加态，一个电子可能在这里，也可能不在这里，但是我们并没有穷尽所有的可能性，电子可能处在在这里和不在这里的叠加态，或者说既在这里又不在这里。
对于两个处于纠缠状态的系统，如果只考虑其中一个系统，那就是把一个整体强行切割为两部分，会丢失一些整体的性质，显然这里的某个子系统不是一个独立的集合，也没有清晰的边界。
从以上讨论可以看出，分类的思想无疑是一种重要的思维方式，可以有效缩短我们搜索知识的时间，提升学习效率，构建简洁优美的知识图像，对世界形成初步的概念和印象。但它并不是放之四海而皆准的，某些分类可能会不够合理，甚至一些系统无法分类，因此它也是有适用范围的，我们可以在大量的场景中自如的使用这一方法，但我们不应该满足于应用，而应该设法突破它。
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