爱因斯坦46狭义相对论第4-5部分
爱因斯坦46狭义相对论第4-5部分
第四部分题为《关于运动刚体和运动时钟所得方程的物理意义》，这一部分应用第三部分导出的公式10，即洛伦兹变换分析了两个问题，一是刚体因运动而变形，二是时间因运动而变慢。
首先是刚体因运动而变形，设刚性球静止时半径为R，其相对于动系k是静止的，球体中心在动系k坐标原点上，则刚性球相对于静系K运动速度为v，由动系k考察，其球面方程为：ξ2+η2+ζ2=R2
由静系K考察，应用公式10的洛伦兹变换公式，t=0时，刚性球球面方程为：
x2/√[（1-υ2/V2）]+y2+z2=R2
对比动系k和静系K中同一个刚性球的球面方程可知：一个在静止状态量起来是球形的刚体，在运动状态——从静系看来——则具有旋转椭球的形状了，其椭球的轴是R√[（1-υ2/V2）]，R，R。对此，爱因斯坦在论文中评述道：
“这样看来，球(因而也可以是无论什么形状的刚体)的Y方向和Z方向的长度不因运动而改变，而X方向的长度则好像以1:√[（1-υ2/V2）]的比率缩短了，v愈大，缩短得就愈厉害。对于v=V，一切运动着的物体——从“静“系看来——都缩成扁平的了。对于大于光速的速度，我们的讨论就变得毫无意义了；此外，在以后的讨论中，我们会发现，光速在我们的物理理论中扮演着无限大速度的角色。
很显然，从匀速运动着的坐标系看来，同样的结果也适用于静止在‘静’系中的物体。”
下一个分析问题是时间因运动而变慢，设有若干只钟，当它们同静系相对静止时，它们能够指示静系时间t；而当它们同动系相对静止时，就能够指示动系时间τ。把其中一只钟放到动系k的坐标原点上，则根据公式10的变换方程，其满足下列方程：τ=（t-x·υ/V2）/√[（1-υ2/V2）]。
将x=vt代入上式得公式11：τ=t·√[（1-υ2/V2）]=t-{1-√[（1-υ2/V2）]}t。
由公式11可知，这只钟所指示的时间(在静系K中看来)每秒钟要慢1-√[（1-υ2/V2）]秒，级数展开后略去第4级和更高级的小量则慢υ2/2V2秒。
在论文中，爱因斯坦对公式11给出的结果发表了三段连续的评论，讨论了时钟也就是时间因运动而变慢的三种情况：
“从这里产生了如下的奇特后果。如果在K系的A点和B点上各有一只在静系看来是同步运行的静止的钟，并且使A处的钟以速度v沿着AB连线向B运动，那么当它到达B时，这两只钟不再是同步的了，从A向B运动的钟要比另一只留在B处的钟落后tυ2/2V2秒[不计第4级和更高级的(小)量]，t是这只钟从A到B所花费的时间。
我们立即可见，当钟从A到B是沿着一条任意的折线运动时，上面这结果仍然成立，甚至当A和B这两点重合在一起时，也还是如此。
如果我们假定，对于折线证明的结果，对于连续曲线也是有效的，那么我们就得到这样的命题：如果A处有两只同步的钟，其中一只以恒定速度沿一条闭合曲线运动，经历了t秒后回到A，那么，比起那只在A处始终未动的钟来，这只钟在它到达A时，要慢tυ2/2V2秒。由此，我们可以断定：在赤道上的摆轮钟，比起放在两极的另一只在性能上完全一样的钟来，在别的条件都相同的情况下，它要走得慢些，不过所差的量非常之小。”
发表完这三段议论后，论文第四部分关于刚体因运动而变形和时间因运动而变慢的讨论就结束了。第五部分题为《速度的加法定理》，这一部分主要应用公式10的变换公式，改写了伽利略速度叠加公式。
论文这一部分首先设定一个质点在动系k（动系k坐标轴为ΞHZ）中以速度w运动，其速度在Ξ轴和H轴的分量不为0，Z轴速度分量为0，则其运动方程为公式12：
ξ=wξ·τ，
η=wη·τ，
z=0。
其中，wξ和wη都表示常数。其实wξ和wη就是速度w在Ξ轴和H轴的速度分量。
将公式10洛伦兹变换公式代入公式12，可得公式13：
x=[（wξ+υ）/（1+υ·wξ/V2）]·t，
y={wη·√[（1-υ2/V2）]/（1+υ·wξ/V2）}·t，
z=0。
由速度的平行四边形叠加法则，从静系K考察，质点速度U由公式14决定：
U2=（dx/dt）2+（dy/dt）2。
其中，由公式13对t求导可知，=dx/dt=（wξ+υ）/[（1+υ·wξ/V2）]，
=dy/dt=√[（1-υ2/V2）]/（1+υ·wξ/V2）。
由速度的平行四边形叠加法则和三角函数可知：
w2=wξ2+wη2，wξ=w·cosα，wη=w·sinα。
其中，α为动系k相对于静系K的速度v和质点速度w之间的交角。
将上述导数和速度值代入公式14可得公式15：
U=√{[（υ2+w2+2υw·cosα）-（υw·sinα）2]/[1+υw·cosα/V2]}
特别情况下，当质点速度w方向为动系中的Ξ轴或者静系中的X轴时，交角α为0°，即动系k相对于静系K的速度v和质点速度w同向时，公式15变为公式16：
U=（υ+w）/（1+υw/V2）。
由公式16可知，由两个小于光速V的速度合成而得的速度总是小于光速，具体证明如下，设υ=V-k，w=V-l，代入公式16则为：
U=V（2V-k-l）/（2V-k-l+kl/V）
同时，由公式16还可以看出，光速V不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变，依然为光速V。设动系k相对于静系K的速度v为光速V，将其代入公式16可得：
U=（υ+w）/（1+w/V）=V。
在第五部分的最后，爱因斯坦还提到了另一种速度变换的情况，引入第三个坐标系k′，其原点在动系k的Ξ轴以速度w运动，则静系K与第三个坐标系k′的关系也可以用公式10的洛伦兹变换处理，与动系k的区别仅仅是将动系k相对于静系K的速度v改为公式16算出的U即可。也就是说动系k原点相对于静系K速度为v，第三个坐标系k′原点相对于静系K的速度为U=（υ+w）/（1+υw/V2）。
讨论完上面的几种速度变换后，爱因斯坦以一句话结束了论文第五部分，也结束了论文的第一大部分运动学部分，并预告下面的部分讨论第二大部分电动力学部分：“我们现在已经依照我们的两条原理推导出运动学的必要命题，我们要进而说明它们在电动力学中的应用。”
第四部分题为《关于运动刚体和运动时钟所得方程的物理意义》，这一部分应用第三部分导出的公式10，即洛伦兹变换分析了两个问题，一是刚体因运动而变形，二是时间因运动而变慢。
首先是刚体因运动而变形，设刚性球静止时半径为R，其相对于动系k是静止的，球体中心在动系k坐标原点上，则刚性球相对于静系K运动速度为v，由动系k考察，其球面方程为：ξ2+η2+ζ2=R2
由静系K考察，应用公式10的洛伦兹变换公式，t=0时，刚性球球面方程为：
x2/√[（1-υ2/V2）]+y2+z2=R2
对比动系k和静系K中同一个刚性球的球面方程可知：一个在静止状态量起来是球形的刚体，在运动状态——从静系看来——则具有旋转椭球的形状了，其椭球的轴是R√[（1-υ2/V2）]，R，R。对此，爱因斯坦在论文中评述道：
“这样看来，球(因而也可以是无论什么形状的刚体)的Y方向和Z方向的长度不因运动而改变，而X方向的长度则好像以1:√[（1-υ2/V2）]的比率缩短了，v愈大，缩短得就愈厉害。对于v=V，一切运动着的物体——从“静“系看来——都缩成扁平的了。对于大于光速的速度，我们的讨论就变得毫无意义了；此外，在以后的讨论中，我们会发现，光速在我们的物理理论中扮演着无限大速度的角色。
很显然，从匀速运动着的坐标系看来，同样的结果也适用于静止在‘静’系中的物体。”
下一个分析问题是时间因运动而变慢，设有若干只钟，当它们同静系相对静止时，它们能够指示静系时间t；而当它们同动系相对静止时，就能够指示动系时间τ。把其中一只钟放到动系k的坐标原点上，则根据公式10的变换方程，其满足下列方程：τ=（t-x·υ/V2）/√[（1-υ2/V2）]。
将x=vt代入上式得公式11：τ=t·√[（1-υ2/V2）]=t-{1-√[（1-υ2/V2）]}t。
由公式11可知，这只钟所指示的时间(在静系K中看来)每秒钟要慢1-√[（1-υ2/V2）]秒，级数展开后略去第4级和更高级的小量则慢υ2/2V2秒。
在论文中，爱因斯坦对公式11给出的结果发表了三段连续的评论，讨论了时钟也就是时间因运动而变慢的三种情况：
“从这里产生了如下的奇特后果。如果在K系的A点和B点上各有一只在静系看来是同步运行的静止的钟，并且使A处的钟以速度v沿着AB连线向B运动，那么当它到达B时，这两只钟不再是同步的了，从A向B运动的钟要比另一只留在B处的钟落后tυ2/2V2秒[不计第4级和更高级的(小)量]，t是这只钟从A到B所花费的时间。
我们立即可见，当钟从A到B是沿着一条任意的折线运动时，上面这结果仍然成立，甚至当A和B这两点重合在一起时，也还是如此。
如果我们假定，对于折线证明的结果，对于连续曲线也是有效的，那么我们就得到这样的命题：如果A处有两只同步的钟，其中一只以恒定速度沿一条闭合曲线运动，经历了t秒后回到A，那么，比起那只在A处始终未动的钟来，这只钟在它到达A时，要慢tυ2/2V2秒。由此，我们可以断定：在赤道上的摆轮钟，比起放在两极的另一只在性能上完全一样的钟来，在别的条件都相同的情况下，它要走得慢些，不过所差的量非常之小。”
发表完这三段议论后，论文第四部分关于刚体因运动而变形和时间因运动而变慢的讨论就结束了。第五部分题为《速度的加法定理》，这一部分主要应用公式10的变换公式，改写了伽利略速度叠加公式。
论文这一部分首先设定一个质点在动系k（动系k坐标轴为ΞHZ）中以速度w运动，其速度在Ξ轴和H轴的分量不为0，Z轴速度分量为0，则其运动方程为公式12：
ξ=wξ·τ，
η=wη·τ，
z=0。
其中，wξ和wη都表示常数。其实wξ和wη就是速度w在Ξ轴和H轴的速度分量。
将公式10洛伦兹变换公式代入公式12，可得公式13：
x=[（wξ+υ）/（1+υ·wξ/V2）]·t，
y={wη·√[（1-υ2/V2）]/（1+υ·wξ/V2）}·t，
z=0。
由速度的平行四边形叠加法则，从静系K考察，质点速度U由公式14决定：
U2=（dx/dt）2+（dy/dt）2。
其中，由公式13对t求导可知，=dx/dt=（wξ+υ）/[（1+υ·wξ/V2）]，
=dy/dt=√[（1-υ2/V2）]/（1+υ·wξ/V2）。
由速度的平行四边形叠加法则和三角函数可知：
w2=wξ2+wη2，wξ=w·cosα，wη=w·sinα。
其中，α为动系k相对于静系K的速度v和质点速度w之间的交角。
将上述导数和速度值代入公式14可得公式15：
U=√{[（υ2+w2+2υw·cosα）-（υw·sinα）2]/[1+υw·cosα/V2]}
特别情况下，当质点速度w方向为动系中的Ξ轴或者静系中的X轴时，交角α为0°，即动系k相对于静系K的速度v和质点速度w同向时，公式15变为公式16：
U=（υ+w）/（1+υw/V2）。
由公式16可知，由两个小于光速V的速度合成而得的速度总是小于光速，具体证明如下，设υ=V-k，w=V-l，代入公式16则为：
U=V（2V-k-l）/（2V-k-l+kl/V）
同时，由公式16还可以看出，光速V不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变，依然为光速V。设动系k相对于静系K的速度v为光速V，将其代入公式16可得：
U=（υ+w）/（1+w/V）=V。
在第五部分的最后，爱因斯坦还提到了另一种速度变换的情况，引入第三个坐标系k′，其原点在动系k的Ξ轴以速度w运动，则静系K与第三个坐标系k′的关系也可以用公式10的洛伦兹变换处理，与动系k的区别仅仅是将动系k相对于静系K的速度v改为公式16算出的U即可。也就是说动系k原点相对于静系K速度为v，第三个坐标系k′原点相对于静系K的速度为U=（υ+w）/（1+υw/V2）。
讨论完上面的几种速度变换后，爱因斯坦以一句话结束了论文第五部分，也结束了论文的第一大部分运动学部分，并预告下面的部分讨论第二大部分电动力学部分：“我们现在已经依照我们的两条原理推导出运动学的必要命题，我们要进而说明它们在电动力学中的应用。”
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