爱因斯坦47狭义相对论第6-7部分
爱因斯坦47狭义相对论第6-7部分
论文《论动体的电动力学》的6-10部分归为第二大部分电动力学部分，第六部分题为《关于空虚空间麦克斯韦-赫兹方程的变换，关于磁场中由运动所产生的电动力的本性》，这一部分采用公式10的洛伦兹变换方程对麦克斯韦-赫兹方程进行了坐标代入处理。
首先，对静系K成立的、描述电磁现象的麦克斯韦-赫兹方程为方程17，包含6个方程：
（1/V）·∂X/∂t=∂N/∂y-∂M/∂z，
（1/V）·∂Y/∂t=∂L/∂z-∂N/∂x，
（1/V）·∂Z/∂t=∂M/∂x-∂L/∂y，
（1/V）·∂L/∂t=∂Y/∂z-∂Z/∂y，
（1/V）·∂M/∂t=∂Z/∂x-∂X/∂z，
（1/V）·∂N/∂t=∂X/∂y-∂Y/∂x。
其中，（X，Y，Z）表示电力的矢量，（L，M，N）表示磁力的矢量。
其次，将公式10的洛伦兹变换方程代入方程17，则对动系k（与静系相对速度为v）成立的麦克斯韦-赫兹方程变为方程18，包含6个方程：
（1/V）·∂X/∂τ=∂β（N-υ/V·Y）/∂η-∂β（M+υ/V·Z）/∂z，
（1/V）·∂β（Y-υ/V·N）/∂τ=∂L/∂z-∂β（N-υ/V·Y）/∂ξ，
（1/V）·∂β（Z+υ/V·M）/∂τ=∂β（M+υ/V·Z）/∂ξ-∂L/∂η，
（1/V）·∂L/∂τ=∂β（Y-υ/V·N）/∂z-∂β（Z+υ/V·M）/∂η，
（1/V）·∂β（M+υ/V·Z）/∂τ=∂β（Z+υ/V·M）/∂ξ-∂X/∂z，
（1/V）·∂β（N-υ/V·Y）/∂τ=∂X/∂η-∂β（Y-υ/V·N）/∂ξ。
其中，β=1/√[（1-υ2/V2）]。
再次，根据相对性原理的要求（注：物理体系的状态据以变化的定律，同描述这些状态变化时所参照的坐标系究竟是用两个在互相匀速移动着的坐标系中的哪一个并无关系。），在动系k中分别由那些在带电体和磁体上的有质动力作用来定义的电力矢量（X′，Y′，Z′）和磁力矢量（L′，M′，N′）对方程19成立，包含6个方程：
（1/V）·∂X´/∂τ=∂N´/∂η-∂M´/∂z，
（1/V）·∂Y´/∂τ=∂L´/∂z-∂N´/∂ξ，
（1/V）·∂Z´/∂τ=∂M´/∂ξ-∂L´/∂η，
（1/V）·∂L´/∂τ=∂Y´/∂z-∂Z´/∂η，
（1/V）·∂M´/∂τ=∂Z´/∂ξ-∂X´/∂z，
（1/V）·∂N´/∂τ=∂X´/∂η-∂Y´/∂ξ。
对比方程18和方程19，爱因斯坦在论文中评述说：“显然，为k系所求得的上面这两个方程组必定表达完全同一回事，因为这两个方程组都相当于K系的麦克斯韦-赫兹方程。此外，由于两组里的各个方程，除了代表矢量的符号以外，都是相一致的，因此，在两个方程组里的对应位置上出现的函数，除了一个因子Ψ（v）之外，都应当相一致，而Ψ（v）这因子对于一个方程组里的一切函数都是共同的，并且同ε，η，ζ和τ无关，而只同v有关。”
经过上面的这段论述，通过对比方程18和方程19，爱因斯坦得出了方程20：
X´=Ψ（υ）·X，L´=Ψ（υ）·L，
Y´=Ψ（υ）·β（Y-υ/V·N），M´=Ψ（υ）·β（M+υ/V·Z），
Z´=Ψ（υ）·β（Z+υ/V·M），N´=Ψ（υ）·β（N-υ/V·Y）。
由动系k变到静系K[以Ψ（-υ）表示]和目前由论文上述方程描述的由静系K变到动系k[以Ψ（υ）表示]互为逆变换，如此得到的两组方程组是恒等关系，因此，Ψ（υ）·Ψ（-υ）=1。
[注：求解函数Ψ（υ）的过程，《爱因斯坦全集》此处用的函数代码j（υ），如果笔者没理解错论文的意思，此处的函数代码j（υ）写错了，应该是Ψ（υ）。]
由于对称性，则由关系式Ψ（υ）=Ψ（-υ）。
因此，Ψ（υ）=1，则方程20变为方程21：
X´=X，L´=L，
Y´=β（Y-υ/V·N），M´=β（M+υ/V·Z），
Z´=β（Z+υ/V·M），N´=β（N-υ/V·Y）。
方程21便是论文第六部分得出的最后方程，也就是爱因斯坦狭义相对论对电动力学方程的改造结果之一，接着，爱因斯坦对相对论性电动力学方程21进行了相对论思维下的解释。
设有一个点状电荷，当它在静系K中量度时，电荷的量值是1，根据相对性原理，在动系k中量度时，这个电荷的量值也应该是1。如果这个电荷相对于静系是静止的，那么按照定义，矢量（X，Y，Z）就等于作用在它上面的力。如果这个电荷相对于动系是静止的(至少在有关的瞬时)，那么作用在它上面的力，在动系中的量应等于矢量（X′，Y′，Z′）。由此，上面方程中的前面三个量，在文字上可以用如下两种方式来表述：
1.如果一个单位点状电荷在一个电磁场中运动，那么作用在它上面的，除了电力，还有一个“电动力”，要是我们略去v/V的二次以及更高次幂所乘的项，这个电动力就等于单位电荷的速度同磁力的矢积除以光速。(旧的表述方式，方程17。)
2、如果一个单位点状电荷在一个电磁场中运动，那么作用在它上面的力就等于在电荷所在处出现的一种电力，这个电力是我们把电磁场变换到同单位电荷相对静止的一个坐标系上去时所得出的。(新的表述方式，方程21。)
对于磁动力也是类似的表述，做完这番论述后，在第六部分的最后，爱因斯坦做了总结似的论断：
“我们看到，在所阐述的这个理论中，电动力只起着一个辅助概念的作用，它的引入是由于这样的情况：电力和磁力都不是独立于坐标系的运动状态而存在的。
同时也很明显，开头所讲的，那种在考查由磁体同导体的相对运动而产生电流时所出现的不对称性，现在是不存在了。而且，关于电动力学的电动力的‘位置’问题(单极电机)，现在也不成为问题了。”
至此，论文《论动体的电动力学》论述电动力学的第一部分，也就是全文正文的第六部分就正式结束了，接下来，第七部分题为《多普勒原理和光行差的理论》，这一部分采用公式10的洛伦兹变换方程对描述电动力波源的方程进行了坐标代入处理，得出了相应的结论，解释了多普勒原理和光行差现象。
多普勒原理即多普勒效应，是为纪念奥地利物理学家及数学家克里斯琴·约翰·多普勒（1803年11月29日-1853年3月17日）而命名的，他于1842年首先提出了这一理论。主要内容为物体辐射的波长因为波源和观测者的相对运动而产生变化。在运动的波源前面，波被压缩，波长变得较短，频率变得较高（蓝移）；在运动的波源后面时，会产生相反的效应。波长变得较长，频率变得较低（红移）；波源的速度越高，所产生的效应越大。根据波红（或蓝）移的程度，可以计算出波源循着观测方向运动的速度。恒星光谱线的位移显示恒星循着观测方向运动的速度，除非波源的速度非常接近光速，否则多普勒位移的程度一般都很小。所有波动现象都存在多普勒效应。
光行差（或称为天文光行差、恒星光行差）是指运动的观测者观察到光的方向与同一时间同一地点静止的观测者观察到的方向有偏差的现象。光行差现象在天文观测上表现得尤为明显。由于地球公转、自转等原因，地球上观察天体的位置时总是存在光行差，其大小与观测者的速度和天体方向与观测者运动方向之间的夹角有关，并且在不断变化。在一年内，恒星似乎围绕它的平均位置走出一个小椭圆，这个现象在1729年由英国天文学家詹姆斯·布拉德雷（1693年3月-1762年7月13日）发现，并被他用来测量光的速率。
在论文《论动体的电动力学》中，爱因斯坦采用自己的新理论——狭义相对论尝试解释了多普勒原理和光行差现象。首先，设定在静系K中离坐标原点很远的地方有一电动力波源，则在包括坐标原点在内的一部分空间里的波以方程22表示：
X=X0sinΦ，L=L0sinΦ，
Y=Y0sinΦ，M=M0sinΦ，
Z=Z0sinΦ，N=N0sinΦ，
Φ=w[t-（ax+by+cz）/V]。
其中，（X0，Y0，Z0）和（L0，M0，N0）是规定波列的振幅的矢量，a、b、c是波面法线的方向余弦，w是波的频率。
通过第六部分得出的电力磁力的变换方程21和第三部分的公式10洛伦兹变换方程对方程22处理，可得由动系k角度考察描述上述波列的方程23：
X´=X0sinΦ´，L´=L0sinΦ´，
Y´=β（Y0-υ/V·N0）sinΦ´，M´=β（M0+υ/V·Z0）sinΦ´，
Z´=β（Z0+υ/V·M0）sinΦ´，N´=β（N0-υ/V·Y0）sinΦ´，
Φ´=w´[τ-（a´ξ+b´η+c´z）/V]，
w´=wβ（1-a·υ/V），
a´=（a-υ/V）/（1-a·υ/V），
b´=b/[β（1-a·υ/V）]，
c´=c/[β（1-a·υ/V）]
由方程23的w´=wβ（1-a·υ/V）可知，如果有一观察者以速度v相对于一个在无限远处频率为n的光源运动，并且参照于一个同光源相对静止的坐标系，“光源-观察者”连线同观察者的速度相交成j角，那么，观察者所感知的光的频率n´由公式24决定：
n´=n·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]
（注：a、b、c是波面法线的方向余弦，将a=cosj代入w´=wβ（1-a·υ/V）即得公式24。）
公式24就是多普勒原理的解释公式，特别是当“光源-观察者”连线同观察者的速度相交成j角为0时，cosj=1，则公式24变为公式25：
n´=n·√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]。
把动系中的波面法线(光线的方向)同“光源-观察者”连线之间的交角叫做j´，由方程23的a´=（a-υ/V）/（1-a·υ/V）可得公式26：
cosj´=（cosj-υ/V）/（1-cosj·υ/V）
爱因斯坦评价说公式26以最一般的形式表述了光行差定律，特别是当j=π/2时，cosj´=0，公式26就取简单形式：cosj´=-υ/V。
之后，爱因斯坦又给出了动系k中的电力或磁力的振幅A′公式27：
A´2=A2·[1-（υ/V）·cosj]2/[（1-υ2/V2）]
当j角为0时，cosj=1，公式27就变为公式28：
A´2=A2·（1-υ/V）/（1+υ/V）
之后，爱因斯坦以一句评述结束了论文《论动体的电动力学》的第七部分：“从这些已求得的方程得知，对于一个以速度V（注：即公式中的参照系相对速度v为光速V时）向光源接近的观察者，这光源必定显得无限强烈。”
论文《论动体的电动力学》的6-10部分归为第二大部分电动力学部分，第六部分题为《关于空虚空间麦克斯韦-赫兹方程的变换，关于磁场中由运动所产生的电动力的本性》，这一部分采用公式10的洛伦兹变换方程对麦克斯韦-赫兹方程进行了坐标代入处理。
首先，对静系K成立的、描述电磁现象的麦克斯韦-赫兹方程为方程17，包含6个方程：
（1/V）·∂X/∂t=∂N/∂y-∂M/∂z，
（1/V）·∂Y/∂t=∂L/∂z-∂N/∂x，
（1/V）·∂Z/∂t=∂M/∂x-∂L/∂y，
（1/V）·∂L/∂t=∂Y/∂z-∂Z/∂y，
（1/V）·∂M/∂t=∂Z/∂x-∂X/∂z，
（1/V）·∂N/∂t=∂X/∂y-∂Y/∂x。
其中，（X，Y，Z）表示电力的矢量，（L，M，N）表示磁力的矢量。
其次，将公式10的洛伦兹变换方程代入方程17，则对动系k（与静系相对速度为v）成立的麦克斯韦-赫兹方程变为方程18，包含6个方程：
（1/V）·∂X/∂τ=∂β（N-υ/V·Y）/∂η-∂β（M+υ/V·Z）/∂z，
（1/V）·∂β（Y-υ/V·N）/∂τ=∂L/∂z-∂β（N-υ/V·Y）/∂ξ，
（1/V）·∂β（Z+υ/V·M）/∂τ=∂β（M+υ/V·Z）/∂ξ-∂L/∂η，
（1/V）·∂L/∂τ=∂β（Y-υ/V·N）/∂z-∂β（Z+υ/V·M）/∂η，
（1/V）·∂β（M+υ/V·Z）/∂τ=∂β（Z+υ/V·M）/∂ξ-∂X/∂z，
（1/V）·∂β（N-υ/V·Y）/∂τ=∂X/∂η-∂β（Y-υ/V·N）/∂ξ。
其中，β=1/√[（1-υ2/V2）]。
再次，根据相对性原理的要求（注：物理体系的状态据以变化的定律，同描述这些状态变化时所参照的坐标系究竟是用两个在互相匀速移动着的坐标系中的哪一个并无关系。），在动系k中分别由那些在带电体和磁体上的有质动力作用来定义的电力矢量（X′，Y′，Z′）和磁力矢量（L′，M′，N′）对方程19成立，包含6个方程：
（1/V）·∂X´/∂τ=∂N´/∂η-∂M´/∂z，
（1/V）·∂Y´/∂τ=∂L´/∂z-∂N´/∂ξ，
（1/V）·∂Z´/∂τ=∂M´/∂ξ-∂L´/∂η，
（1/V）·∂L´/∂τ=∂Y´/∂z-∂Z´/∂η，
（1/V）·∂M´/∂τ=∂Z´/∂ξ-∂X´/∂z，
（1/V）·∂N´/∂τ=∂X´/∂η-∂Y´/∂ξ。
对比方程18和方程19，爱因斯坦在论文中评述说：“显然，为k系所求得的上面这两个方程组必定表达完全同一回事，因为这两个方程组都相当于K系的麦克斯韦-赫兹方程。此外，由于两组里的各个方程，除了代表矢量的符号以外，都是相一致的，因此，在两个方程组里的对应位置上出现的函数，除了一个因子Ψ（v）之外，都应当相一致，而Ψ（v）这因子对于一个方程组里的一切函数都是共同的，并且同ε，η，ζ和τ无关，而只同v有关。”
经过上面的这段论述，通过对比方程18和方程19，爱因斯坦得出了方程20：
X´=Ψ（υ）·X，L´=Ψ（υ）·L，
Y´=Ψ（υ）·β（Y-υ/V·N），M´=Ψ（υ）·β（M+υ/V·Z），
Z´=Ψ（υ）·β（Z+υ/V·M），N´=Ψ（υ）·β（N-υ/V·Y）。
由动系k变到静系K[以Ψ（-υ）表示]和目前由论文上述方程描述的由静系K变到动系k[以Ψ（υ）表示]互为逆变换，如此得到的两组方程组是恒等关系，因此，Ψ（υ）·Ψ（-υ）=1。
[注：求解函数Ψ（υ）的过程，《爱因斯坦全集》此处用的函数代码j（υ），如果笔者没理解错论文的意思，此处的函数代码j（υ）写错了，应该是Ψ（υ）。]
由于对称性，则由关系式Ψ（υ）=Ψ（-υ）。
因此，Ψ（υ）=1，则方程20变为方程21：
X´=X，L´=L，
Y´=β（Y-υ/V·N），M´=β（M+υ/V·Z），
Z´=β（Z+υ/V·M），N´=β（N-υ/V·Y）。
方程21便是论文第六部分得出的最后方程，也就是爱因斯坦狭义相对论对电动力学方程的改造结果之一，接着，爱因斯坦对相对论性电动力学方程21进行了相对论思维下的解释。
设有一个点状电荷，当它在静系K中量度时，电荷的量值是1，根据相对性原理，在动系k中量度时，这个电荷的量值也应该是1。如果这个电荷相对于静系是静止的，那么按照定义，矢量（X，Y，Z）就等于作用在它上面的力。如果这个电荷相对于动系是静止的(至少在有关的瞬时)，那么作用在它上面的力，在动系中的量应等于矢量（X′，Y′，Z′）。由此，上面方程中的前面三个量，在文字上可以用如下两种方式来表述：
1.如果一个单位点状电荷在一个电磁场中运动，那么作用在它上面的，除了电力，还有一个“电动力”，要是我们略去v/V的二次以及更高次幂所乘的项，这个电动力就等于单位电荷的速度同磁力的矢积除以光速。(旧的表述方式，方程17。)
2、如果一个单位点状电荷在一个电磁场中运动，那么作用在它上面的力就等于在电荷所在处出现的一种电力，这个电力是我们把电磁场变换到同单位电荷相对静止的一个坐标系上去时所得出的。(新的表述方式，方程21。)
对于磁动力也是类似的表述，做完这番论述后，在第六部分的最后，爱因斯坦做了总结似的论断：
“我们看到，在所阐述的这个理论中，电动力只起着一个辅助概念的作用，它的引入是由于这样的情况：电力和磁力都不是独立于坐标系的运动状态而存在的。
同时也很明显，开头所讲的，那种在考查由磁体同导体的相对运动而产生电流时所出现的不对称性，现在是不存在了。而且，关于电动力学的电动力的‘位置’问题(单极电机)，现在也不成为问题了。”
至此，论文《论动体的电动力学》论述电动力学的第一部分，也就是全文正文的第六部分就正式结束了，接下来，第七部分题为《多普勒原理和光行差的理论》，这一部分采用公式10的洛伦兹变换方程对描述电动力波源的方程进行了坐标代入处理，得出了相应的结论，解释了多普勒原理和光行差现象。
多普勒原理即多普勒效应，是为纪念奥地利物理学家及数学家克里斯琴·约翰·多普勒（1803年11月29日-1853年3月17日）而命名的，他于1842年首先提出了这一理论。主要内容为物体辐射的波长因为波源和观测者的相对运动而产生变化。在运动的波源前面，波被压缩，波长变得较短，频率变得较高（蓝移）；在运动的波源后面时，会产生相反的效应。波长变得较长，频率变得较低（红移）；波源的速度越高，所产生的效应越大。根据波红（或蓝）移的程度，可以计算出波源循着观测方向运动的速度。恒星光谱线的位移显示恒星循着观测方向运动的速度，除非波源的速度非常接近光速，否则多普勒位移的程度一般都很小。所有波动现象都存在多普勒效应。
光行差（或称为天文光行差、恒星光行差）是指运动的观测者观察到光的方向与同一时间同一地点静止的观测者观察到的方向有偏差的现象。光行差现象在天文观测上表现得尤为明显。由于地球公转、自转等原因，地球上观察天体的位置时总是存在光行差，其大小与观测者的速度和天体方向与观测者运动方向之间的夹角有关，并且在不断变化。在一年内，恒星似乎围绕它的平均位置走出一个小椭圆，这个现象在1729年由英国天文学家詹姆斯·布拉德雷（1693年3月-1762年7月13日）发现，并被他用来测量光的速率。
在论文《论动体的电动力学》中，爱因斯坦采用自己的新理论——狭义相对论尝试解释了多普勒原理和光行差现象。首先，设定在静系K中离坐标原点很远的地方有一电动力波源，则在包括坐标原点在内的一部分空间里的波以方程22表示：
X=X0sinΦ，L=L0sinΦ，
Y=Y0sinΦ，M=M0sinΦ，
Z=Z0sinΦ，N=N0sinΦ，
Φ=w[t-（ax+by+cz）/V]。
其中，（X0，Y0，Z0）和（L0，M0，N0）是规定波列的振幅的矢量，a、b、c是波面法线的方向余弦，w是波的频率。
通过第六部分得出的电力磁力的变换方程21和第三部分的公式10洛伦兹变换方程对方程22处理，可得由动系k角度考察描述上述波列的方程23：
X´=X0sinΦ´，L´=L0sinΦ´，
Y´=β（Y0-υ/V·N0）sinΦ´，M´=β（M0+υ/V·Z0）sinΦ´，
Z´=β（Z0+υ/V·M0）sinΦ´，N´=β（N0-υ/V·Y0）sinΦ´，
Φ´=w´[τ-（a´ξ+b´η+c´z）/V]，
w´=wβ（1-a·υ/V），
a´=（a-υ/V）/（1-a·υ/V），
b´=b/[β（1-a·υ/V）]，
c´=c/[β（1-a·υ/V）]
由方程23的w´=wβ（1-a·υ/V）可知，如果有一观察者以速度v相对于一个在无限远处频率为n的光源运动，并且参照于一个同光源相对静止的坐标系，“光源-观察者”连线同观察者的速度相交成j角，那么，观察者所感知的光的频率n´由公式24决定：
n´=n·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]
（注：a、b、c是波面法线的方向余弦，将a=cosj代入w´=wβ（1-a·υ/V）即得公式24。）
公式24就是多普勒原理的解释公式，特别是当“光源-观察者”连线同观察者的速度相交成j角为0时，cosj=1，则公式24变为公式25：
n´=n·√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]。
把动系中的波面法线(光线的方向)同“光源-观察者”连线之间的交角叫做j´，由方程23的a´=（a-υ/V）/（1-a·υ/V）可得公式26：
cosj´=（cosj-υ/V）/（1-cosj·υ/V）
爱因斯坦评价说公式26以最一般的形式表述了光行差定律，特别是当j=π/2时，cosj´=0，公式26就取简单形式：cosj´=-υ/V。
之后，爱因斯坦又给出了动系k中的电力或磁力的振幅A′公式27：
A´2=A2·[1-（υ/V）·cosj]2/[（1-υ2/V2）]
当j角为0时，cosj=1，公式27就变为公式28：
A´2=A2·（1-υ/V）/（1+υ/V）
之后，爱因斯坦以一句评述结束了论文《论动体的电动力学》的第七部分：“从这些已求得的方程得知，对于一个以速度V（注：即公式中的参照系相对速度v为光速V时）向光源接近的观察者，这光源必定显得无限强烈。”
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