爱因斯坦48狭义相对论第8-10部分
爱因斯坦48狭义相对论第8-10部分
论文《论动体的电动力学》的第八部分题为《光线能量的变换作用在完全反射镜上的辐射压力理论》，在这一部分爱因斯坦首先论证了同一个光能集合体的体积分别从静系K和动系k考察是不同的。
首先，从静系K考察，单位体积的光能能量为A2/8π；从动系k考察，单位体积的光能能量为A′2/8π，两者的关系为公式29：
A´=A·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]
（注：参照公式27给出。）
根据光速不变原理，光能不会超过光速传播，则从静系K考察，光能集合体被囊括在方程30描述的以光速V运动的球面中：
（x-Vat）2+（y-Vbt）2+（z-Vct）2=R2。
其中，V是光速，a，b，c是静系中光的波面法线的方向余弦。
从动系k考察，设定动系时间τ=0时，描述此球面的为方程31：
[βξ-aβξ（υ/V）]2+[η-bβξ（υ/V）]2+[z-cβξ（υ/V）]2=R2。
（注：将动系时间τ=0代入公式10的洛伦兹变换，可得t=vx/V2，将其代入方程30，并结合公式10的洛伦兹变换得到xyz与动系εηζ的关系，即可得方程31。）
由方程31可知，从动系k考察，囊括光能的圆球为椭球形。静系K考察的圆球S与动系k考察的椭球S′体积之比为公式32：
S´/S=√[（1-υ2/V2）]/[1-（υ/V）·cosj]
静系K考察、量得的，为球面S包围的光能能量为E，动系k考察、量得的，为椭球面S′包围的光能能量为E′，联立公式29和公式31可得公式33：
E´/E=[（A´2/8π）S´]/[（A2/8π）S]=[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]。
特别是当j角为0时，cosj=1，则公式33变为公式34：
E´/E=√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]。
对比第七部分的公式25：n´=n·√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]，爱因斯坦做出了评述：“可注意的是，光集合体的能量（注：公式34）和频率（注：公式25）都随着观察者的运动状态遵循着同一定律而变化。”
做完上面的基础考察后，爱因斯坦开始探讨完全反射面的问题，设坐标平面ε=0为一个完全反射的表面，入射光从静系K考察，以振幅A、法线方向余弦cosj和光线频率n来描述，则从动系k考察，根据公式10的洛伦兹变换，上述参数为公式35：
A´=A·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]
cosj´=（cosj-υ/V）/[1-（υ/V）·cosj]
n´=n·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]。
对于反射后的光，由动系k考察为方程36：
A´´=A´，
cosj´´=-cosj´，
n´´=n´。
对于反射后的光，由静系K考察，根据公式10的洛伦兹变换，并代入公式35和公式36，可得由静系K考察的描述反射光线的公式37：
A´´´=A´´·[1+（υ/V）·cosj´´]/√[（1-υ2/V2）]=A·[1-2（υ/V）·cosj+（υ/V）2]/[（1-υ2/V2）]，
cosj´´´=（cosj´´+υ/V）/[1+（υ/V）·cosj´´]=-{[1+（υ/V）2]cosj-2（υ/V）}/[1-2（υ/V）·cosj+（υ/V）2]，
n´´´=n´´·[1+（υ/V）·cosj´´]/√[（1-υ2/V2）]=n·[1-2（υ/V）·cosj+（υ/V）2]/[（1-υ2/V2）]。
（注：公式37，最后一项公式的分母有误，应该是（1-υ2/V2）。《爱因斯坦全集》注解33也已指出此点。）
由静系K考察，每单位时间内射到反射镜上单位面积的能量为公式38：
A2/8π（Vcosj-υ）。
（注：A2/8π是入射光单位体积的光能能量，Vcosj-υ是静系考察入射光的速度。）
由静系K考察，每单位时间内离开反射镜的单位面积的能量为公式39：
A´´´2/8π（-Vcosj´´´+υ）。
（注：A´´´2/8π是反射光单位体积的光能能量，-Vcosj´´´+υ是静系考察反射光的速度。）
公式38和公式39的能量差就是单位时间内光压所做的功，等于光压P·v，由此可知光压P由公式40决定：
P=（2A2/8π）·[（cosj-υ/V）2/（1-υ2/V2）]
公式40的一级近似为公式41：
P=（2A2/8π）·cos2j
公式41令爱因斯坦为自己的理论又找到了一个现实的依据：“就第一级近似而论，我们得到一个同经验一致，也同别的理论一致的结果。”
麦克斯韦算出了类似公式41的光压公式，并分别于1901年被列别捷夫、1903年被尼科尔斯和赫尔实验验证。
至此，对于自己运用根据狭义相对性原理和光速不变原理为原则导出的洛伦兹变换（注：唯一可惜的是洛伦兹从错误的思考角度首先凑出了准确的静系动系变换方程式，不然论文里的变换完全可以叫爱因斯坦变换了）就解决了如此多的电动力学问题，爱因斯坦本人也很自豪，在得出光压公式后，爱因斯坦在第八部分的最后自豪的做了一段论述，再次夸赞起了自己以上运用洛伦兹变换从新阐释电动力学的新思路新方法：
“关于动体的一切光学问题，都能用这里所使用的方法来解决。其要点在于，把受到一动体影响的光的电力和磁力，变换到一个同这个物体相对静止的坐标系上去。通过这种办法，动体光学的全部问题将归结为一系列静体光学的问题。”
在自豪中结束第八部分的爱因斯坦紧接着又运用自己的新武器洛伦兹变换讨论了电子的运流问题，第九部分题为《考虑到运流的麦克斯韦-赫兹方程的变换》，这一部分研究运流电流问题，又称作对流电流或徙动电流，是指电荷在不导电的空间，如真空或极稀薄气体中的有规则运动所形成的电流。
在这一部分，爱因斯坦首先列出了此类问题的传统电动力学方程42：
（1/V）·（uxρ+∂X/∂t）=∂N/∂y-∂M/∂z，
（1/V）·（uyρ+∂Y/∂t）=∂L/∂z-∂N/∂x，
（1/V）·（uzρ+∂Z/∂t）=∂M/∂x-∂L/∂y，
（1/V）·∂L/∂t=∂Y/∂z-∂Z/∂y，
（1/V）·∂M/∂t=∂Z/∂x-∂X/∂z，
（1/V）·∂N/∂t=∂X/∂y-∂Y/∂x。
其中ρ=∂X/∂x+∂Y/∂y+∂Z/∂z，表示电的密度的4π倍，（ux，uy，uz）表示电的速度矢量。
爱因斯坦在论文中解释方程42是洛伦兹动体电动力学和光学的电磁学基础：“如果我们设想电荷是同小刚体(离子、电子)牢固地结合在一起的，那么这些方程就是洛伦兹的动体电动力学和光学的电磁学基础。”
将方程42进行公式10的洛伦兹变换和第六部分方程21的电磁学变换，可将静系K考察的方程42变到动系k考察的方程43：
（1/V）·（uξρ´+∂X´/∂τ）=∂N´/∂η-∂M´/∂z，
（1/V）·（uηρ´+∂Y´/∂τ）=∂L´/∂z-∂N´/∂ξ，
（1/V）·（uzρ´+∂Z´/∂τ）=∂M´/∂ξ-∂L´/∂η，
（1/V）·∂L´/∂τ=∂Y´/∂z-∂Z´/∂η，
（1/V）·∂M´/∂τ=∂Z´/∂ξ-∂X´/∂z，
（1/V）·∂N´/∂τ=∂X´/∂η-∂Y´/∂ξ。
其中，（ux-υ）/（1-ux·υ/V2）=uξ，
uy/[β（1-ux·υ/V2）]=uη，
uz/[β（1-ux·υ/V2）]=uz，
ρ´=∂X´/∂ξ+∂Y´/∂η+∂Z´/∂z=ρ·[β（1-ux·υ/V2）]。
给出动系k考察的方程43后，爱因斯坦在论文就做了一段评述，并结束了第九部分：
“因为——由速度的加法定理(第五部分)得知——矢量（ux，uy，uz）只不过是在k系中量得的电荷的速度，所以我们就证明了：根据我们的运动学原理，洛伦兹的动体电动力学理论的电动力学基础是符合于相对性原理的。
此外，我还可以简要地说一下，由已经推演得到的方程可以容易地导出下面一条重要的定律：如果一个带电体在空间中无论怎样运动，并且从一个同它一道运动着的坐标系来看，它的电荷不变，那么从‘静系’K来看，它的电荷也保持不变。”
第九部分到此结束，论文《论动体的电动力学》的最后一部分是第十部分，题为《(缓慢加速的)电子的动力学》，这一部分根据狭义相对论思路讨论了缓慢加速的电子在电磁场中的运动。
首先，设有一点状的具有电荷ε的粒子(以后叫“电子”)在电磁场中运动，假定它的运动定律如下：
如果这电子在一定时期内是静止的，在随后的时刻，只要电子的运动是缓慢的，它的运动就遵循方程44（注：牛顿第二定律微分形式）：
μ·d2x/dt2=eX，
μ·d2y/dt2=eY，
μ·d2z/dt2=eZ。
其中，xyz是电子的坐标，μ是电子的质量，e是电子的电荷，XYZ是电力的矢量。
在开始考察电子时其位置设定为坐标原点，并沿着静系K的X轴以速度v运动，为此，电子在考察的短时期内对动系k是静止的，在随后很小的时间内，由动系k考察，电子的运动由方程45给出：
μ·d2ξ/dτ2=eX´，
μ·d2η/dτ2=eY´，
μ·d2z/dτ2=eZ´。
ξ，η，z，τ，X´，Y´，Z´由动系k给出，设定静系K给出的t=x=y=z=0，动系k给出的参数τ=ξ=η=z=0，则根据公式10的洛伦兹变换和第六部分方程21的电磁学变换，可将动系k考察的方程45变到静系K考察的方程46：
d2x/dt2=（e/μ）·（1/β3）·X，
d2y/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Y-υ/V·N），
d2z/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Z+υ/V·M）。
经过简单的变换，方程46可变为方程47：
μβ3·d2x/dt2=eX=eX´，
μβ2·d2y/dt2=eβ（Y-υ/V·N）=eY´，
μβ2·d2z/dt2=eβ（Z+υ/V·M）=eZ´。
eX´，eY´，eZ´是作用在电子上的有质动力的分量，将其定为“作用在电子上的力”，根据牛顿第二定律：质量×加速度=力，可看出方程47左边的质量分别为：μβ3，μβ2和μβ2，爱因斯坦在论文中将μβ3定义为纵质量，μβ2定义为横质量，即公式48：
纵质量=μ/[√（1-υ2/V2）]3，
横质量=μ/√（1-υ2/V2）。
对纵质量和横质量的提出，爱因斯坦在论文中做了一番研究电子运动要谨慎的评述：“当然，用另一种力和加速度的定义，我们就会得到另外的质量数值。由此可见，在比较电子运动的不同理论时，我们必须非常谨慎。”
爱因斯坦做这个谨慎评述的背景是1902年-1903年亚伯拉罕、1904年洛伦兹、1904年布赫尔和1905年朗之万都提出过电子模型，这些模型最后却导致了不同的电子运动方程，在此，爱因斯坦暗示出现不同电子模型和电子运动方程的根源是大家都不了解自己刚发现的相对论效应，导致电子如质量之类的参数在不同理论有偏差，也都是片面而不足的。
考察完电子的质量后，爱因斯坦开始了对电子动能及运动定律的考察。首先是确定电子的动能，设一个电子开始时在静系K的坐标原点上，起始速度为0，在一个静电力X的作用下，沿着X轴运动，由于电子是缓慢加速的，不会以辐射的形式丧失能量，那么从静电场中取得的能量必定等于电子的运动的能量W，由此可得方程49：
W=òeXdx=òμβ3υdυ=μV2[1/√（1-υ2/V2）-1]。
积分上下限为υ和0。
（注：=òβ3υdυ项少了电子质量μ，方程49的积分过程如下：
推导中光速以现在惯用的c表示，以大V表示光速太容易与参照系相对速度小v相混淆了。）
对方程49，爱因斯坦再次强调了超光速在目前理论上的不可能：“由此，当v=V时，W就变成无限大。超光速的速度——像我们以前的结果一样——-没有存在的可能。”
在第十部分的最后，爱因斯坦以静系K考察的电子运动方程46为依据分析了三个问题：
1、通过磁偏转力和电偏转力之比来计算电子速度
根据方程46的d2y/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Y-υ/V·N）可知，电力Y和磁力N，对于一个以速度v运动着的电子，当Y=N·v/V时，它们产生同样强弱的偏转作用，则对于任何速度的磁偏转力Am同电偏转力Ae之比就等于v/V，即Am/Ae=υ/V。
爱因斯坦对这个关系式评述说：“这个关系可由实验来验证，因为电子的速度也是能够直接量出来的，比如可以用迅速振荡的电场和磁场来量出。”
2、电子通过的势差和电子速度的关系
从关于电子动能的推导（注：方程49）可知，在电子所通过的势差P同电子所得到的速度v之间，必定有公式50的关系：
P=òXdx=（μ/e）·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
3、通过磁力计算电子路径的曲率半径
当存在着一个同电子的速度相垂直的磁力N(作为惟一的偏转力)时，根据方程46的d2y/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Y-υ/V·N）可以计算在这磁力作用下的电子路径的曲率半径R，其由公式51决定：
-d2y/dt2=υ2/R=（e/μ）·（υ/V）N·√（1-υ2/V2）
或者R=V2·（μ/e）·（υ/V）/√（1-υ2/V2）·（1/N）。
之后，爱因斯坦以一句话结束了正文部分：“根据这里所提出的理论，这三项关系完备地表述了电子运动所必须遵循的定律。”
在论文《论动体的电动力学》的最后，爱因斯坦以一句感谢米歇尔·贝索的话正式结束了这篇名垂科学史册的、宣告了狭义相对论正式诞生的论文：
“最后，我要声明，在研究这里所讨论的问题时，我曾得到我的朋友和同事米歇尔·贝索的热诚帮助，我要感谢他一些有价值的建议。”
笔者也勉为其难的大体通了一遍爱因斯坦这篇宣告一位科学巨人正式登场科学界的论文，汗！
论文《论动体的电动力学》的第八部分题为《光线能量的变换作用在完全反射镜上的辐射压力理论》，在这一部分爱因斯坦首先论证了同一个光能集合体的体积分别从静系K和动系k考察是不同的。
首先，从静系K考察，单位体积的光能能量为A2/8π；从动系k考察，单位体积的光能能量为A′2/8π，两者的关系为公式29：
A´=A·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]
（注：参照公式27给出。）
根据光速不变原理，光能不会超过光速传播，则从静系K考察，光能集合体被囊括在方程30描述的以光速V运动的球面中：
（x-Vat）2+（y-Vbt）2+（z-Vct）2=R2。
其中，V是光速，a，b，c是静系中光的波面法线的方向余弦。
从动系k考察，设定动系时间τ=0时，描述此球面的为方程31：
[βξ-aβξ（υ/V）]2+[η-bβξ（υ/V）]2+[z-cβξ（υ/V）]2=R2。
（注：将动系时间τ=0代入公式10的洛伦兹变换，可得t=vx/V2，将其代入方程30，并结合公式10的洛伦兹变换得到xyz与动系εηζ的关系，即可得方程31。）
由方程31可知，从动系k考察，囊括光能的圆球为椭球形。静系K考察的圆球S与动系k考察的椭球S′体积之比为公式32：
S´/S=√[（1-υ2/V2）]/[1-（υ/V）·cosj]
静系K考察、量得的，为球面S包围的光能能量为E，动系k考察、量得的，为椭球面S′包围的光能能量为E′，联立公式29和公式31可得公式33：
E´/E=[（A´2/8π）S´]/[（A2/8π）S]=[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]。
特别是当j角为0时，cosj=1，则公式33变为公式34：
E´/E=√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]。
对比第七部分的公式25：n´=n·√[（1-υ/V）/（1+υ/V）]，爱因斯坦做出了评述：“可注意的是，光集合体的能量（注：公式34）和频率（注：公式25）都随着观察者的运动状态遵循着同一定律而变化。”
做完上面的基础考察后，爱因斯坦开始探讨完全反射面的问题，设坐标平面ε=0为一个完全反射的表面，入射光从静系K考察，以振幅A、法线方向余弦cosj和光线频率n来描述，则从动系k考察，根据公式10的洛伦兹变换，上述参数为公式35：
A´=A·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]
cosj´=（cosj-υ/V）/[1-（υ/V）·cosj]
n´=n·[1-（υ/V）·cosj]/√[（1-υ2/V2）]。
对于反射后的光，由动系k考察为方程36：
A´´=A´，
cosj´´=-cosj´，
n´´=n´。
对于反射后的光，由静系K考察，根据公式10的洛伦兹变换，并代入公式35和公式36，可得由静系K考察的描述反射光线的公式37：
A´´´=A´´·[1+（υ/V）·cosj´´]/√[（1-υ2/V2）]=A·[1-2（υ/V）·cosj+（υ/V）2]/[（1-υ2/V2）]，
cosj´´´=（cosj´´+υ/V）/[1+（υ/V）·cosj´´]=-{[1+（υ/V）2]cosj-2（υ/V）}/[1-2（υ/V）·cosj+（υ/V）2]，
n´´´=n´´·[1+（υ/V）·cosj´´]/√[（1-υ2/V2）]=n·[1-2（υ/V）·cosj+（υ/V）2]/[（1-υ2/V2）]。
（注：公式37，最后一项公式的分母有误，应该是（1-υ2/V2）。《爱因斯坦全集》注解33也已指出此点。）
由静系K考察，每单位时间内射到反射镜上单位面积的能量为公式38：
A2/8π（Vcosj-υ）。
（注：A2/8π是入射光单位体积的光能能量，Vcosj-υ是静系考察入射光的速度。）
由静系K考察，每单位时间内离开反射镜的单位面积的能量为公式39：
A´´´2/8π（-Vcosj´´´+υ）。
（注：A´´´2/8π是反射光单位体积的光能能量，-Vcosj´´´+υ是静系考察反射光的速度。）
公式38和公式39的能量差就是单位时间内光压所做的功，等于光压P·v，由此可知光压P由公式40决定：
P=（2A2/8π）·[（cosj-υ/V）2/（1-υ2/V2）]
公式40的一级近似为公式41：
P=（2A2/8π）·cos2j
公式41令爱因斯坦为自己的理论又找到了一个现实的依据：“就第一级近似而论，我们得到一个同经验一致，也同别的理论一致的结果。”
麦克斯韦算出了类似公式41的光压公式，并分别于1901年被列别捷夫、1903年被尼科尔斯和赫尔实验验证。
至此，对于自己运用根据狭义相对性原理和光速不变原理为原则导出的洛伦兹变换（注：唯一可惜的是洛伦兹从错误的思考角度首先凑出了准确的静系动系变换方程式，不然论文里的变换完全可以叫爱因斯坦变换了）就解决了如此多的电动力学问题，爱因斯坦本人也很自豪，在得出光压公式后，爱因斯坦在第八部分的最后自豪的做了一段论述，再次夸赞起了自己以上运用洛伦兹变换从新阐释电动力学的新思路新方法：
“关于动体的一切光学问题，都能用这里所使用的方法来解决。其要点在于，把受到一动体影响的光的电力和磁力，变换到一个同这个物体相对静止的坐标系上去。通过这种办法，动体光学的全部问题将归结为一系列静体光学的问题。”
在自豪中结束第八部分的爱因斯坦紧接着又运用自己的新武器洛伦兹变换讨论了电子的运流问题，第九部分题为《考虑到运流的麦克斯韦-赫兹方程的变换》，这一部分研究运流电流问题，又称作对流电流或徙动电流，是指电荷在不导电的空间，如真空或极稀薄气体中的有规则运动所形成的电流。
在这一部分，爱因斯坦首先列出了此类问题的传统电动力学方程42：
（1/V）·（uxρ+∂X/∂t）=∂N/∂y-∂M/∂z，
（1/V）·（uyρ+∂Y/∂t）=∂L/∂z-∂N/∂x，
（1/V）·（uzρ+∂Z/∂t）=∂M/∂x-∂L/∂y，
（1/V）·∂L/∂t=∂Y/∂z-∂Z/∂y，
（1/V）·∂M/∂t=∂Z/∂x-∂X/∂z，
（1/V）·∂N/∂t=∂X/∂y-∂Y/∂x。
其中ρ=∂X/∂x+∂Y/∂y+∂Z/∂z，表示电的密度的4π倍，（ux，uy，uz）表示电的速度矢量。
爱因斯坦在论文中解释方程42是洛伦兹动体电动力学和光学的电磁学基础：“如果我们设想电荷是同小刚体(离子、电子)牢固地结合在一起的，那么这些方程就是洛伦兹的动体电动力学和光学的电磁学基础。”
将方程42进行公式10的洛伦兹变换和第六部分方程21的电磁学变换，可将静系K考察的方程42变到动系k考察的方程43：
（1/V）·（uξρ´+∂X´/∂τ）=∂N´/∂η-∂M´/∂z，
（1/V）·（uηρ´+∂Y´/∂τ）=∂L´/∂z-∂N´/∂ξ，
（1/V）·（uzρ´+∂Z´/∂τ）=∂M´/∂ξ-∂L´/∂η，
（1/V）·∂L´/∂τ=∂Y´/∂z-∂Z´/∂η，
（1/V）·∂M´/∂τ=∂Z´/∂ξ-∂X´/∂z，
（1/V）·∂N´/∂τ=∂X´/∂η-∂Y´/∂ξ。
其中，（ux-υ）/（1-ux·υ/V2）=uξ，
uy/[β（1-ux·υ/V2）]=uη，
uz/[β（1-ux·υ/V2）]=uz，
ρ´=∂X´/∂ξ+∂Y´/∂η+∂Z´/∂z=ρ·[β（1-ux·υ/V2）]。
给出动系k考察的方程43后，爱因斯坦在论文就做了一段评述，并结束了第九部分：
“因为——由速度的加法定理(第五部分)得知——矢量（ux，uy，uz）只不过是在k系中量得的电荷的速度，所以我们就证明了：根据我们的运动学原理，洛伦兹的动体电动力学理论的电动力学基础是符合于相对性原理的。
此外，我还可以简要地说一下，由已经推演得到的方程可以容易地导出下面一条重要的定律：如果一个带电体在空间中无论怎样运动，并且从一个同它一道运动着的坐标系来看，它的电荷不变，那么从‘静系’K来看，它的电荷也保持不变。”
第九部分到此结束，论文《论动体的电动力学》的最后一部分是第十部分，题为《(缓慢加速的)电子的动力学》，这一部分根据狭义相对论思路讨论了缓慢加速的电子在电磁场中的运动。
首先，设有一点状的具有电荷ε的粒子(以后叫“电子”)在电磁场中运动，假定它的运动定律如下：
如果这电子在一定时期内是静止的，在随后的时刻，只要电子的运动是缓慢的，它的运动就遵循方程44（注：牛顿第二定律微分形式）：
μ·d2x/dt2=eX，
μ·d2y/dt2=eY，
μ·d2z/dt2=eZ。
其中，xyz是电子的坐标，μ是电子的质量，e是电子的电荷，XYZ是电力的矢量。
在开始考察电子时其位置设定为坐标原点，并沿着静系K的X轴以速度v运动，为此，电子在考察的短时期内对动系k是静止的，在随后很小的时间内，由动系k考察，电子的运动由方程45给出：
μ·d2ξ/dτ2=eX´，
μ·d2η/dτ2=eY´，
μ·d2z/dτ2=eZ´。
ξ，η，z，τ，X´，Y´，Z´由动系k给出，设定静系K给出的t=x=y=z=0，动系k给出的参数τ=ξ=η=z=0，则根据公式10的洛伦兹变换和第六部分方程21的电磁学变换，可将动系k考察的方程45变到静系K考察的方程46：
d2x/dt2=（e/μ）·（1/β3）·X，
d2y/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Y-υ/V·N），
d2z/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Z+υ/V·M）。
经过简单的变换，方程46可变为方程47：
μβ3·d2x/dt2=eX=eX´，
μβ2·d2y/dt2=eβ（Y-υ/V·N）=eY´，
μβ2·d2z/dt2=eβ（Z+υ/V·M）=eZ´。
eX´，eY´，eZ´是作用在电子上的有质动力的分量，将其定为“作用在电子上的力”，根据牛顿第二定律：质量×加速度=力，可看出方程47左边的质量分别为：μβ3，μβ2和μβ2，爱因斯坦在论文中将μβ3定义为纵质量，μβ2定义为横质量，即公式48：
纵质量=μ/[√（1-υ2/V2）]3，
横质量=μ/√（1-υ2/V2）。
对纵质量和横质量的提出，爱因斯坦在论文中做了一番研究电子运动要谨慎的评述：“当然，用另一种力和加速度的定义，我们就会得到另外的质量数值。由此可见，在比较电子运动的不同理论时，我们必须非常谨慎。”
爱因斯坦做这个谨慎评述的背景是1902年-1903年亚伯拉罕、1904年洛伦兹、1904年布赫尔和1905年朗之万都提出过电子模型，这些模型最后却导致了不同的电子运动方程，在此，爱因斯坦暗示出现不同电子模型和电子运动方程的根源是大家都不了解自己刚发现的相对论效应，导致电子如质量之类的参数在不同理论有偏差，也都是片面而不足的。
考察完电子的质量后，爱因斯坦开始了对电子动能及运动定律的考察。首先是确定电子的动能，设一个电子开始时在静系K的坐标原点上，起始速度为0，在一个静电力X的作用下，沿着X轴运动，由于电子是缓慢加速的，不会以辐射的形式丧失能量，那么从静电场中取得的能量必定等于电子的运动的能量W，由此可得方程49：
W=òeXdx=òμβ3υdυ=μV2[1/√（1-υ2/V2）-1]。
积分上下限为υ和0。
（注：=òβ3υdυ项少了电子质量μ，方程49的积分过程如下：
推导中光速以现在惯用的c表示，以大V表示光速太容易与参照系相对速度小v相混淆了。）
对方程49，爱因斯坦再次强调了超光速在目前理论上的不可能：“由此，当v=V时，W就变成无限大。超光速的速度——像我们以前的结果一样——-没有存在的可能。”
在第十部分的最后，爱因斯坦以静系K考察的电子运动方程46为依据分析了三个问题：
1、通过磁偏转力和电偏转力之比来计算电子速度
根据方程46的d2y/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Y-υ/V·N）可知，电力Y和磁力N，对于一个以速度v运动着的电子，当Y=N·v/V时，它们产生同样强弱的偏转作用，则对于任何速度的磁偏转力Am同电偏转力Ae之比就等于v/V，即Am/Ae=υ/V。
爱因斯坦对这个关系式评述说：“这个关系可由实验来验证，因为电子的速度也是能够直接量出来的，比如可以用迅速振荡的电场和磁场来量出。”
2、电子通过的势差和电子速度的关系
从关于电子动能的推导（注：方程49）可知，在电子所通过的势差P同电子所得到的速度v之间，必定有公式50的关系：
P=òXdx=（μ/e）·V2[1/√（1-υ2/V2）-1]
3、通过磁力计算电子路径的曲率半径
当存在着一个同电子的速度相垂直的磁力N(作为惟一的偏转力)时，根据方程46的d2y/dt2=（e/μ）·（1/β）·（Y-υ/V·N）可以计算在这磁力作用下的电子路径的曲率半径R，其由公式51决定：
-d2y/dt2=υ2/R=（e/μ）·（υ/V）N·√（1-υ2/V2）
或者R=V2·（μ/e）·（υ/V）/√（1-υ2/V2）·（1/N）。
之后，爱因斯坦以一句话结束了正文部分：“根据这里所提出的理论，这三项关系完备地表述了电子运动所必须遵循的定律。”
在论文《论动体的电动力学》的最后，爱因斯坦以一句感谢米歇尔·贝索的话正式结束了这篇名垂科学史册的、宣告了狭义相对论正式诞生的论文：
“最后，我要声明，在研究这里所讨论的问题时，我曾得到我的朋友和同事米歇尔·贝索的热诚帮助，我要感谢他一些有价值的建议。”
笔者也勉为其难的大体通了一遍爱因斯坦这篇宣告一位科学巨人正式登场科学界的论文，汗！
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