爱因斯坦67普朗克的辐射理论和比热容理论a1906.11.9
爱因斯坦67普朗克的辐射理论和比热容理论a1906.11.9
就在劳厄等人还在质疑光量子不是真空中电磁过程的一种特征，而只是放射或吸收物的一种特征时，爱因斯坦却已经着手将量子论继续扩大适用范围了，1906年11月9日，《物理学年鉴》收到了爱因斯坦的又一篇论文，题为《普朗克的辐射理论和比热容理论》，这篇论文将量子论的适用范围扩大到了固体比热领域，而且也仅仅是个示范领域，在爱因斯坦看来量子化是物质更本质的东西，量子化开启了人类探索物质世界的新境界。
论文一开始爱因斯坦就以一句短评自己两篇光量子论文结论的话作为了新论文——也可以称呼为光量子第三论文——《普朗克的辐射理论和比热容理论》的研究背景：
“我在以前发表的两篇论文中曾指出：以第二定律的玻尔兹曼理论的精神（注：即熵的概率论解释公式S=k·logW）来解释黑体辐射的能量分布定律，可以引导我们形成有关光的发射和光的吸收现象的新观点（注：即光量子论），这种观点虽然还远没有具备完备的理论的特性（注：承认光量子理论还不完备，算是对劳厄质疑的回应，当然也光量子论也确实还不完备，毕竟只是提出了光量子的概念和能量表达式），但已值得引起密切的注意，因为它有助于对一系列规律性的理解（注：光量子论可以解释很多问题）。”
（注：两篇论文为1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》和1906年3月13日的光量子姊妹篇论文《关于光产生和光吸收的理论》。）
接着，爱因斯坦以两句话结束了论文的研究目的：
“本文现在要证明，辐射理论——特别是到普朗克的理论（注：量子论）——将导致对热的分子运动论的修正，通过这种修正将克服一直阻碍这个理论贯彻始终的一些困难。由此还将得到固体的热学行为（注：固体比热）和光学行为（注：黑体辐射领域，即量子论）的某种联系。”
这篇论文没有划分章节，首先是简述了普朗克振子的平均能量公式的推导，具体如下：
按热的一般分子理论，分子演变过程由方程1描述：
dPv/dt=fv（P1，P2，…，Pn）（v=1，2，…，n）
其中，P1，P2，…，Pn为物理体系的状态变数，而∑∂fv/∂pv=0。
上述方程1的给出和设定类似于爱因斯坦1905年5月11日布朗运动论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》第二部分《从热的分子运动论观点看渗透压》中的描述，其为：
“在第二部分，爱因斯坦首先设定物理体系的状态变数以p1，p2，…，pι表示，状态变数变化方程由公式3表示：。
∂pv/∂t=ψv（p1，p2，…，pι）（v=1，2，…，ι）
接着，在∑∂ψv/∂pv=0（物理含义为状态空间的点不可压缩性）的前提下，爱因斯坦给出了物理体系的熵S和自由能F的理论公式4：
S=Ê/T+2klg∫e[-E/（2kT）]d（p1，p2，…，pι），
F=（-RT/N）·lg∫e[-EN/（RT）]d（p1，p2，…，pι）=（-RT/N）·lgB
其中，Ê是体系的能量，k为R/（2N），E是状态变数变化函数pv的能量，B代表积分∫e[-EN/（RT）]d（p1，p2，…，pι），积分的范围遍及一切符合于有关条件的pv值的组合。”
给出了上述物理体系Pv的设定后，爱因斯坦又设定了Pv体系的局部体系，并将局部体系分为两个部分，一个局部体系的能量与状态变数有关，一个局部体系的能量与状态变数无关：
“进一步假定，有一个由变数p1，p2，…，pm(它们属于Pv)来确定的Pv体系的局都体系，并假设：整个体系的能量可以设想为十分接近于两个部分之和，其中一部分(E)只同p1，p2，…，pm有关，而另一部分则同p1，p2，…，pm无关。此外，E对比起体系的总能量来为无限小。”
给出局部体系的设定后，爱因斯坦就列出了局部体系pv的几率dW方程2：
dW=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpm
其中，C是热力学温度(T)的一个函数，N是每摩尔分子的数目，R是以摩尔为单位的气体方程的常数。
上述方程2的给出和设定类似于爱因斯坦1905年12月19日布朗运动姊妹篇论文《关于布朗运动的理论》第一部分《热力学平衡的一个情况》中的描述，其为：
“第1部分题为《热力学平衡的一个情况》，在这一部分，爱因斯坦首先设定一物理体系与热力学温度为T的周围环境处于热平衡状态，以P1，P2，…，Pn代表物理体系的状态变数，尤其是物理体系所有原子的坐标和速度分量可以作为具体的状态变数的一种。
在这里的理论设定部分，爱因斯坦已经光明正大的谈论原子问题了，在上篇1905年5月11日的布朗运动相关论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》的创作时期，原子、分子论尚未得到科学界公认。
做出上述条件设定后，爱因斯坦接着直接给出了状态变数P1，P2，…，Pn在随机选定的一个时刻处于一个n重的无限小区域(dP1…dPn)中的几率方程1：
dw=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpn
其中，dw是状态变数在无限小区域(dP1…dPn)中的几率；C是常数；R是气体方程的普适常数（即热力学气体常数）；N是每摩尔实际分子的数目（即阿伏伽德罗常数）；E是体系的能量。
给出状态变数在无限小区域(dP1…dPn)中的几率dw方程1后，爱因斯坦设α为状态变数P1，P2，…，Pn对应的物理体系可观察的参数，并用Adα来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和α+dα（注：dα为微积分中的无限小变量）之间的几率，根据方程1可得方程2：
Ada=òdaCe-（NE）/（RT）dp1…dpn
对方程2爱因斯坦进行了两段简短的文字阐述：
“只要右边的积分是遍及状态变数值的一切组合，而这些状态变数的α值是处于α和α+dα之间的。
我们要限于这样的情况，在这种情况中，从问题的性质立即可以明白，α的一切(可能的)值都具有同一几率(频率)；因此，那里的量A同α无关。”
所以，物理学家的论文也不是不能简单的看一下，耐心的看下去，看多了，他们很多处理问题的思路和方法都是相通的，爱因斯坦论文中对一般大众来说比较晦涩的关于分子运动和热力学的一些论文的处理方式就有很多类似的地方，看多了也就看习惯了。
接下来的处理依然类似《关于布朗运动的理论》第一部分《热力学平衡的一个情况》的处理，设∫dEp1…pm=w（E）dE，积分遍及局部体系pv的全部组合，则同它们相应的能量值处于E和E+dE之间几率dW为方程3：
dW=Ce-（NE）/（RT）w（E）dE
给出方程3后，爱因斯坦以一段文字阐述说明上述方程其实就概括了热的分子运动论：
“如果人们设变数Pv（注：物理体系，而不是设定的局部体系）为质点(原子、电子)的重心坐标和速度分量，如果人们还假设加速度只同坐标有关，而同速度无关，这样我们就得到了热的分子运动论。这里满足方程1（注：∑∂Φv/∂Pv=0），从而方程2（注：dW=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpm）也成立。”
接着，爱因斯坦在论文中就演示了设定局部体系的作用，选择一个基元物质粒子作为局部体系pv，它可以沿着直线方向作正弦振荡，并且如果人们用χ和ξ相应地表示这个粒子距平衡位置的瞬时距离和它的瞬时速度，根据方程2和方程3，则描述基元物质粒子的方程为2a：
dW=Ce-（NE）/（RT）dxdξ
因为∫dxdξ=常数·dE（注：E=ax2+bξ2），所以，方程3中的w（E）=常数（注：能量连续性还是量子化的区别就在此处w（E）的设定），而方程2a则变为方程3a：
dW=常数·e-（NE）/（RT）dE
由方程3a可得物质粒子的能量平均值`E为公式4（注：紫外灾变根源公式）：
`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N
（注：1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》中的公式1：线性(分)振动的能量的平均值`E=RT/N，困难之处就出在这个公式有问题，暗含了能量的连续性，而不是量子化。
∫E·e-（NE）/（RT）dE是物质粒子的总能量，∫e-（NE）/（RT）dE是物质粒子的数目。）
而普朗克得出的离子的平均能量`E和黑体幅射对于有关频率的能量密度ρv之间的关系为公式5：
`Ev=（L3·ρv）/（8πv2）
联立公式4和公式5则得出了导致紫外灾变的瑞利-金斯公式的变种形式，公式6：
ρv=（8πv2RT）/（NL3）
（注：1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》中的公式3。）
爱因斯坦对公式6评价说：“如所周知，此式只有当T/v值很大时才具有极限定律的意义（注：公式6适合长波短频辐射）。”
至此为止，爱因斯坦在上述部分比较详细的推导了1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》的来源过程，比光量子论文里阐述的还详细，大家通过爱因斯坦这一部分的阐述也更能明白紫外灾变的来源和根源在哪了。
就在劳厄等人还在质疑光量子不是真空中电磁过程的一种特征，而只是放射或吸收物的一种特征时，爱因斯坦却已经着手将量子论继续扩大适用范围了，1906年11月9日，《物理学年鉴》收到了爱因斯坦的又一篇论文，题为《普朗克的辐射理论和比热容理论》，这篇论文将量子论的适用范围扩大到了固体比热领域，而且也仅仅是个示范领域，在爱因斯坦看来量子化是物质更本质的东西，量子化开启了人类探索物质世界的新境界。
论文一开始爱因斯坦就以一句短评自己两篇光量子论文结论的话作为了新论文——也可以称呼为光量子第三论文——《普朗克的辐射理论和比热容理论》的研究背景：
“我在以前发表的两篇论文中曾指出：以第二定律的玻尔兹曼理论的精神（注：即熵的概率论解释公式S=k·logW）来解释黑体辐射的能量分布定律，可以引导我们形成有关光的发射和光的吸收现象的新观点（注：即光量子论），这种观点虽然还远没有具备完备的理论的特性（注：承认光量子理论还不完备，算是对劳厄质疑的回应，当然也光量子论也确实还不完备，毕竟只是提出了光量子的概念和能量表达式），但已值得引起密切的注意，因为它有助于对一系列规律性的理解（注：光量子论可以解释很多问题）。”
（注：两篇论文为1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》和1906年3月13日的光量子姊妹篇论文《关于光产生和光吸收的理论》。）
接着，爱因斯坦以两句话结束了论文的研究目的：
“本文现在要证明，辐射理论——特别是到普朗克的理论（注：量子论）——将导致对热的分子运动论的修正，通过这种修正将克服一直阻碍这个理论贯彻始终的一些困难。由此还将得到固体的热学行为（注：固体比热）和光学行为（注：黑体辐射领域，即量子论）的某种联系。”
这篇论文没有划分章节，首先是简述了普朗克振子的平均能量公式的推导，具体如下：
按热的一般分子理论，分子演变过程由方程1描述：
dPv/dt=fv（P1，P2，…，Pn）（v=1，2，…，n）
其中，P1，P2，…，Pn为物理体系的状态变数，而∑∂fv/∂pv=0。
上述方程1的给出和设定类似于爱因斯坦1905年5月11日布朗运动论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》第二部分《从热的分子运动论观点看渗透压》中的描述，其为：
“在第二部分，爱因斯坦首先设定物理体系的状态变数以p1，p2，…，pι表示，状态变数变化方程由公式3表示：。
∂pv/∂t=ψv（p1，p2，…，pι）（v=1，2，…，ι）
接着，在∑∂ψv/∂pv=0（物理含义为状态空间的点不可压缩性）的前提下，爱因斯坦给出了物理体系的熵S和自由能F的理论公式4：
S=Ê/T+2klg∫e[-E/（2kT）]d（p1，p2，…，pι），
F=（-RT/N）·lg∫e[-EN/（RT）]d（p1，p2，…，pι）=（-RT/N）·lgB
其中，Ê是体系的能量，k为R/（2N），E是状态变数变化函数pv的能量，B代表积分∫e[-EN/（RT）]d（p1，p2，…，pι），积分的范围遍及一切符合于有关条件的pv值的组合。”
给出了上述物理体系Pv的设定后，爱因斯坦又设定了Pv体系的局部体系，并将局部体系分为两个部分，一个局部体系的能量与状态变数有关，一个局部体系的能量与状态变数无关：
“进一步假定，有一个由变数p1，p2，…，pm(它们属于Pv)来确定的Pv体系的局都体系，并假设：整个体系的能量可以设想为十分接近于两个部分之和，其中一部分(E)只同p1，p2，…，pm有关，而另一部分则同p1，p2，…，pm无关。此外，E对比起体系的总能量来为无限小。”
给出局部体系的设定后，爱因斯坦就列出了局部体系pv的几率dW方程2：
dW=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpm
其中，C是热力学温度(T)的一个函数，N是每摩尔分子的数目，R是以摩尔为单位的气体方程的常数。
上述方程2的给出和设定类似于爱因斯坦1905年12月19日布朗运动姊妹篇论文《关于布朗运动的理论》第一部分《热力学平衡的一个情况》中的描述，其为：
“第1部分题为《热力学平衡的一个情况》，在这一部分，爱因斯坦首先设定一物理体系与热力学温度为T的周围环境处于热平衡状态，以P1，P2，…，Pn代表物理体系的状态变数，尤其是物理体系所有原子的坐标和速度分量可以作为具体的状态变数的一种。
在这里的理论设定部分，爱因斯坦已经光明正大的谈论原子问题了，在上篇1905年5月11日的布朗运动相关论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》的创作时期，原子、分子论尚未得到科学界公认。
做出上述条件设定后，爱因斯坦接着直接给出了状态变数P1，P2，…，Pn在随机选定的一个时刻处于一个n重的无限小区域(dP1…dPn)中的几率方程1：
dw=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpn
其中，dw是状态变数在无限小区域(dP1…dPn)中的几率；C是常数；R是气体方程的普适常数（即热力学气体常数）；N是每摩尔实际分子的数目（即阿伏伽德罗常数）；E是体系的能量。
给出状态变数在无限小区域(dP1…dPn)中的几率dw方程1后，爱因斯坦设α为状态变数P1，P2，…，Pn对应的物理体系可观察的参数，并用Adα来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和α+dα（注：dα为微积分中的无限小变量）之间的几率，根据方程1可得方程2：
Ada=òdaCe-（NE）/（RT）dp1…dpn
对方程2爱因斯坦进行了两段简短的文字阐述：
“只要右边的积分是遍及状态变数值的一切组合，而这些状态变数的α值是处于α和α+dα之间的。
我们要限于这样的情况，在这种情况中，从问题的性质立即可以明白，α的一切(可能的)值都具有同一几率(频率)；因此，那里的量A同α无关。”
所以，物理学家的论文也不是不能简单的看一下，耐心的看下去，看多了，他们很多处理问题的思路和方法都是相通的，爱因斯坦论文中对一般大众来说比较晦涩的关于分子运动和热力学的一些论文的处理方式就有很多类似的地方，看多了也就看习惯了。
接下来的处理依然类似《关于布朗运动的理论》第一部分《热力学平衡的一个情况》的处理，设∫dEp1…pm=w（E）dE，积分遍及局部体系pv的全部组合，则同它们相应的能量值处于E和E+dE之间几率dW为方程3：
dW=Ce-（NE）/（RT）w（E）dE
给出方程3后，爱因斯坦以一段文字阐述说明上述方程其实就概括了热的分子运动论：
“如果人们设变数Pv（注：物理体系，而不是设定的局部体系）为质点(原子、电子)的重心坐标和速度分量，如果人们还假设加速度只同坐标有关，而同速度无关，这样我们就得到了热的分子运动论。这里满足方程1（注：∑∂Φv/∂Pv=0），从而方程2（注：dW=Ce-（NE）/（RT）dp1…dpm）也成立。”
接着，爱因斯坦在论文中就演示了设定局部体系的作用，选择一个基元物质粒子作为局部体系pv，它可以沿着直线方向作正弦振荡，并且如果人们用χ和ξ相应地表示这个粒子距平衡位置的瞬时距离和它的瞬时速度，根据方程2和方程3，则描述基元物质粒子的方程为2a：
dW=Ce-（NE）/（RT）dxdξ
因为∫dxdξ=常数·dE（注：E=ax2+bξ2），所以，方程3中的w（E）=常数（注：能量连续性还是量子化的区别就在此处w（E）的设定），而方程2a则变为方程3a：
dW=常数·e-（NE）/（RT）dE
由方程3a可得物质粒子的能量平均值`E为公式4（注：紫外灾变根源公式）：
`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N
（注：1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》中的公式1：线性(分)振动的能量的平均值`E=RT/N，困难之处就出在这个公式有问题，暗含了能量的连续性，而不是量子化。
∫E·e-（NE）/（RT）dE是物质粒子的总能量，∫e-（NE）/（RT）dE是物质粒子的数目。）
而普朗克得出的离子的平均能量`E和黑体幅射对于有关频率的能量密度ρv之间的关系为公式5：
`Ev=（L3·ρv）/（8πv2）
联立公式4和公式5则得出了导致紫外灾变的瑞利-金斯公式的变种形式，公式6：
ρv=（8πv2RT）/（NL3）
（注：1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》中的公式3。）
爱因斯坦对公式6评价说：“如所周知，此式只有当T/v值很大时才具有极限定律的意义（注：公式6适合长波短频辐射）。”
至此为止，爱因斯坦在上述部分比较详细的推导了1905年3月17日的光量子诞生论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》第一部分《关于“黑体辐射”理论面临的一个困难》的来源过程，比光量子论文里阐述的还详细，大家通过爱因斯坦这一部分的阐述也更能明白紫外灾变的来源和根源在哪了。
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