爱因斯坦68普朗克的辐射理论和比热容理论b量子比热公式
爱因斯坦68普朗克的辐射理论和比热容理论b量子比热公式
理论推导了紫外灾变的来源后，接下来爱因斯坦的工作就是分析上述的理论推导环节中的问题所在，并最终在适当的环节做出了量子化的条件设定。
首先，公式5：`Ev=（L3·ρv）/（8πv2）是可以保留的：
“为了得到普朗克的黑体幅射理论，人们可以如下进行。人们保留公式5，因而假设，用麦克斯韦的电学理论可以正确地阐明辐射密度和`Ev之间的联系。”
其次，放弃公式4：
`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N
，而保留物理体系的几率dW方程2和3：
“另一方面，人们放弃公式4，也就是说，人们假设，应用分子运动论必然导致同经验相矛盾（注：能量连续性）。然而，人们坚持热的一般分子理论中的方程2和方程3。”
做出取和舍之后，接着，爱因斯坦就做出了量子化的添加设定：
“在其中我们不是按照分子运动论置ω（E）=常数，而是对于所有同0，ε，2ε，3ε等等相差基远的E值，我们置ω=0。只有当E值在从0到0+α，从ε到ε+α（注：α的引入描述的是能量的微观涨落），从2ε到2ε+α等等之间(这里α比起ε来为无限小)，w才不等于0（注：在这里引入了量子化设定），而是这样：
∫ωdE（积分上下限α，0）=∫ωdE（积分上下限e+α，e）=∫ωdE（积分上下限2e+α，2e）…=A。
如人们从方程3所看到的那样，这个规定也包含了这样的假设，即认为所考察的基元结构的能量只取无限接近于0，ε，2ε等值的这样一些值。”
根据上述的对ω（E）的量子化设定，根据方程3：dW=Ce-（NE）/（RT）w（E）dE可得公式7：
`E=[∫E·e-（NE）/（RT）w（E）dE]/[∫e-（NE）/（RT）w（E）dE]=[0+A·ee（-Ne）/（RT）+A·2ee（-N2e）/（RT）+…]/[A+A·e（-Ne）/（RT）+A·e（-N2e）/（RT）+…]=e/[e（Ne）/（RT）-1]
（注：《爱因斯坦全集》注释13指出了一个书写或排版失误：“在第一个等式的分母中指数丢了一个因子E。”）
如果把爱因斯坦和普朗克等人现在坚持的能量子公式e=Rβv/N加入到公式7，便得到公式8：
`E=（Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]
将公式8代入公式5求出能量辐射密度ρv，便得到了标志量子论诞生的、名闻天下的普朗克辐射公式9：
ρv=8πRβv3/{L3N·[e（βv）/（T）-1]}
所以说，科学史上整天强调普朗克辐射公式是普朗克凑出来的也不严谨，虽然最初公式的得出有凑的嫌疑，但公式的背后却有一套符合逻辑的理论基础存在，是能够从理论上推导出来的，这不普朗克辐射公式那别致的自然指数形式e（βv）/（T）-1其实就是理论公式推导的自然结果嘛。
就着公式9，爱因斯坦发表了一番对量子论的评论：“公式9给出了普朗克振子的平均能量及其对温度的相依关系。
从上所述，可以很清楚地看出，热的分子运动论必须在哪个方面作修正，才可以同黑体辐射的分布定律相一致。也就是说，虽然人们过去一直设想分子的运动是同样严格遵循着我们的感官(所感觉到的)世界中物体运动所遵循的那种规律(我们基本上只要添补一个完全可逆性假设)，可是我们现在需要做这样的假设：
能够参与物质和辐射的能量交换的，以确定的频率振荡着的离子，它们能够采取的种种状态，少于我们(日常)经验中物体可能采取的各种状态（注：经典物理的连续性假设）。我们必须假设，能量交换的机制是这样的：基元结构的能量只能取0，Rβv/N，2Rβv/N等值（注：即由普朗克辐射公式开启的量子化）。”
以上一段是对目前已完成工作的陈述，爱因斯坦当然不会满足于此，不然，就不会有这篇论文了，爱因斯坦以下一段文字阐述开启了量子化扩大适用范围的道路：
“可是我认为，我们不应当满足于这个结果。实际上，我们不得不提出这样的问题：
如果在辐射和物质的能量交换的理论中所假设的基元结构不能在现代的分子运动论的意义上来理解（注：连续性），那么，我们是否也应当修正用热的分子理论（注：量子论）来探讨的其他周期振荡实体的理论？
根据我的意见，答案是没有疑问的。如果普朗克辐射理论接触到了事物的核心（注：对普朗克量子论的极高评价），那么我们必须期望在其他热学理论领域中也可以发现现代分子运动论（注：经典分子运动论）和经验（注：黑体辐射等）之间的矛盾，这些矛盾可以用这里所采取的方法（注：量子化）来消除。在我看来，事实正如我试图在下面指明的那样。”
接下来，爱因斯坦就进入了本篇论文探讨的具体问题，固体的比热容问题（单位质量物体改变单位温度时吸收或放出的热量），首先是陈述了当时固体比热容的理论解释，其根基便为有误的公式4（`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N
）：
“关于固体中的热运动，人们可以建立的最简单的图像是：包含于其中的一个个原子在平衡位置附近作正弦振荡。在这个假设之下，应用分子运动论（公式4），并考虑到每个原子要用三个运动自由度来描述，人们得到每摩尔物质的比热容为：c=3R·n；
（注：每摩尔物质的能量为3RT·n，对温度T求导，即为每摩尔物质的比热容c=3R·n。）
或者，用克-卡来表示：c=5.94n，而n表示分子中的原子数。
众所周知，对于取固态聚集状态的大多数元素和许多化合物都是相当接近地满足这一关系式(杜隆-珀蒂定律定律，纽曼-柯普定律)。”
杜隆-珀蒂定律定律是物理学中描述结晶态固体由于晶格振动而具有的比热容的经典定律，由法国化学家皮埃尔·路易·杜隆和阿列克西·泰雷兹·珀蒂于1819年提出，内容为：无论晶体属于何种类型，其比热容均为3R/MM，其中R为普适气体常数，MM为摩尔质量。
纽曼-柯普定律由德国化学家赫曼·柯普（1817-1892）在1864年提出：化合物分子热容等于构成此化合物各元素原子热容之和。
介绍了传统比热容理论的成就后，爱因斯坦又指出了传统比热容理论的局限性，爱因斯坦当时发觉的起码两个，一个是有的物质摩尔热容都小于n·5.94，一个是分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5.94·n：
“然而，只要人们稍微更加精确地考察一下事实，就会遇到两个困难，它们似乎显示了分子论适用的狭窄界限。
1.有一些元素(碳、硼和硅)，它们在常温时为固态，它们具有的原子比热容显著地小于5.94。此外，所有其中有氧、氢或者至少有一个上述元素出现的固态化合物，其摩尔热容都小于n·5.94。
2.德鲁德先生（注：此前小人物爱因斯坦曾经与其举行理论论战）曾经指出：光学现象(色散)，导致必须把化合物中每个原子描述为某种程度上互不相关的运动的基元质点。同时他还得出这样的结论：
红外线的本征频率来源于原子(原子离子)的振荡。紫外线的本征频率来源于电子的振荡。这里热的分子运动论产生了第二个严重的困难——既然每个分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5.94·n。（注：即分子除了包含原子，还包含电子等运动质点，而原子的比热容为5.94·n，则加上电子等运动对比热容的贡献，则分子的比热容应该大于原子比热容为的5.94·n。）”
为了解决上述传统比热容理论的局限性，爱因斯坦将普朗克公式引入的量子论引入了比热容领域，以公式8（`E=（Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]
）代替公式4，则得到了量子化的固体比热容公式：
“如上所述，这里应当注意到下面一点。如果我们把固体中热的载体设想为周期振荡的结构，它的频率同它的振动能量无关，那么按照普朗克辐射理论，我们就不应当期望比热容总具有值5.94·n。相反，我们必须采用公式8：
`E=（3Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]
（注：公式8加入了三个自由度）。
因此，N个（注：即1摩尔）这样的基元结构的能量，用克-卡来计量，具有值：
5.94βv/[e（βv）/（T）-1]
那么，每一个以这样方式振荡的基元结构对摩尔热容所贡献的值为公式10：
[5.94·e（βv）/（T）·（βv/T）2]/[e（βv）/（T）-1]2
（注：根据比热容的定义dQ/dT，将5.94βv/[e（βv）/（T）-1]
对温度T求导就得出公式10。）
因此，当我们对出现在所考察的固态物质中的所有各类振荡的基元结构进行累加时，就得到摩尔热容的表达式公式10a：
c=5.94∑[e（βv）/（T）·（βv/T）2]/[e（βv）/（T）-1]2”
公式10a就是这篇论文理论推导部分的最终结论，也是量子论改造后的固体比热容理论公式。
理论推导了紫外灾变的来源后，接下来爱因斯坦的工作就是分析上述的理论推导环节中的问题所在，并最终在适当的环节做出了量子化的条件设定。
首先，公式5：`Ev=（L3·ρv）/（8πv2）是可以保留的：
“为了得到普朗克的黑体幅射理论，人们可以如下进行。人们保留公式5，因而假设，用麦克斯韦的电学理论可以正确地阐明辐射密度和`Ev之间的联系。”
其次，放弃公式4：
`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N
，而保留物理体系的几率dW方程2和3：
“另一方面，人们放弃公式4，也就是说，人们假设，应用分子运动论必然导致同经验相矛盾（注：能量连续性）。然而，人们坚持热的一般分子理论中的方程2和方程3。”
做出取和舍之后，接着，爱因斯坦就做出了量子化的添加设定：
“在其中我们不是按照分子运动论置ω（E）=常数，而是对于所有同0，ε，2ε，3ε等等相差基远的E值，我们置ω=0。只有当E值在从0到0+α，从ε到ε+α（注：α的引入描述的是能量的微观涨落），从2ε到2ε+α等等之间(这里α比起ε来为无限小)，w才不等于0（注：在这里引入了量子化设定），而是这样：
∫ωdE（积分上下限α，0）=∫ωdE（积分上下限e+α，e）=∫ωdE（积分上下限2e+α，2e）…=A。
如人们从方程3所看到的那样，这个规定也包含了这样的假设，即认为所考察的基元结构的能量只取无限接近于0，ε，2ε等值的这样一些值。”
根据上述的对ω（E）的量子化设定，根据方程3：dW=Ce-（NE）/（RT）w（E）dE可得公式7：
`E=[∫E·e-（NE）/（RT）w（E）dE]/[∫e-（NE）/（RT）w（E）dE]=[0+A·ee（-Ne）/（RT）+A·2ee（-N2e）/（RT）+…]/[A+A·e（-Ne）/（RT）+A·e（-N2e）/（RT）+…]=e/[e（Ne）/（RT）-1]
（注：《爱因斯坦全集》注释13指出了一个书写或排版失误：“在第一个等式的分母中指数丢了一个因子E。”）
如果把爱因斯坦和普朗克等人现在坚持的能量子公式e=Rβv/N加入到公式7，便得到公式8：
`E=（Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]
将公式8代入公式5求出能量辐射密度ρv，便得到了标志量子论诞生的、名闻天下的普朗克辐射公式9：
ρv=8πRβv3/{L3N·[e（βv）/（T）-1]}
所以说，科学史上整天强调普朗克辐射公式是普朗克凑出来的也不严谨，虽然最初公式的得出有凑的嫌疑，但公式的背后却有一套符合逻辑的理论基础存在，是能够从理论上推导出来的，这不普朗克辐射公式那别致的自然指数形式e（βv）/（T）-1其实就是理论公式推导的自然结果嘛。
就着公式9，爱因斯坦发表了一番对量子论的评论：“公式9给出了普朗克振子的平均能量及其对温度的相依关系。
从上所述，可以很清楚地看出，热的分子运动论必须在哪个方面作修正，才可以同黑体辐射的分布定律相一致。也就是说，虽然人们过去一直设想分子的运动是同样严格遵循着我们的感官(所感觉到的)世界中物体运动所遵循的那种规律(我们基本上只要添补一个完全可逆性假设)，可是我们现在需要做这样的假设：
能够参与物质和辐射的能量交换的，以确定的频率振荡着的离子，它们能够采取的种种状态，少于我们(日常)经验中物体可能采取的各种状态（注：经典物理的连续性假设）。我们必须假设，能量交换的机制是这样的：基元结构的能量只能取0，Rβv/N，2Rβv/N等值（注：即由普朗克辐射公式开启的量子化）。”
以上一段是对目前已完成工作的陈述，爱因斯坦当然不会满足于此，不然，就不会有这篇论文了，爱因斯坦以下一段文字阐述开启了量子化扩大适用范围的道路：
“可是我认为，我们不应当满足于这个结果。实际上，我们不得不提出这样的问题：
如果在辐射和物质的能量交换的理论中所假设的基元结构不能在现代的分子运动论的意义上来理解（注：连续性），那么，我们是否也应当修正用热的分子理论（注：量子论）来探讨的其他周期振荡实体的理论？
根据我的意见，答案是没有疑问的。如果普朗克辐射理论接触到了事物的核心（注：对普朗克量子论的极高评价），那么我们必须期望在其他热学理论领域中也可以发现现代分子运动论（注：经典分子运动论）和经验（注：黑体辐射等）之间的矛盾，这些矛盾可以用这里所采取的方法（注：量子化）来消除。在我看来，事实正如我试图在下面指明的那样。”
接下来，爱因斯坦就进入了本篇论文探讨的具体问题，固体的比热容问题（单位质量物体改变单位温度时吸收或放出的热量），首先是陈述了当时固体比热容的理论解释，其根基便为有误的公式4（`E=[∫E·e-（NE）/（RT）dE]/[∫e-（NE）/（RT）dE]=RT/N
）：
“关于固体中的热运动，人们可以建立的最简单的图像是：包含于其中的一个个原子在平衡位置附近作正弦振荡。在这个假设之下，应用分子运动论（公式4），并考虑到每个原子要用三个运动自由度来描述，人们得到每摩尔物质的比热容为：c=3R·n；
（注：每摩尔物质的能量为3RT·n，对温度T求导，即为每摩尔物质的比热容c=3R·n。）
或者，用克-卡来表示：c=5.94n，而n表示分子中的原子数。
众所周知，对于取固态聚集状态的大多数元素和许多化合物都是相当接近地满足这一关系式(杜隆-珀蒂定律定律，纽曼-柯普定律)。”
杜隆-珀蒂定律定律是物理学中描述结晶态固体由于晶格振动而具有的比热容的经典定律，由法国化学家皮埃尔·路易·杜隆和阿列克西·泰雷兹·珀蒂于1819年提出，内容为：无论晶体属于何种类型，其比热容均为3R/MM，其中R为普适气体常数，MM为摩尔质量。
纽曼-柯普定律由德国化学家赫曼·柯普（1817-1892）在1864年提出：化合物分子热容等于构成此化合物各元素原子热容之和。
介绍了传统比热容理论的成就后，爱因斯坦又指出了传统比热容理论的局限性，爱因斯坦当时发觉的起码两个，一个是有的物质摩尔热容都小于n·5.94，一个是分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5.94·n：
“然而，只要人们稍微更加精确地考察一下事实，就会遇到两个困难，它们似乎显示了分子论适用的狭窄界限。
1.有一些元素(碳、硼和硅)，它们在常温时为固态，它们具有的原子比热容显著地小于5.94。此外，所有其中有氧、氢或者至少有一个上述元素出现的固态化合物，其摩尔热容都小于n·5.94。
2.德鲁德先生（注：此前小人物爱因斯坦曾经与其举行理论论战）曾经指出：光学现象(色散)，导致必须把化合物中每个原子描述为某种程度上互不相关的运动的基元质点。同时他还得出这样的结论：
红外线的本征频率来源于原子(原子离子)的振荡。紫外线的本征频率来源于电子的振荡。这里热的分子运动论产生了第二个严重的困难——既然每个分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5.94·n。（注：即分子除了包含原子，还包含电子等运动质点，而原子的比热容为5.94·n，则加上电子等运动对比热容的贡献，则分子的比热容应该大于原子比热容为的5.94·n。）”
为了解决上述传统比热容理论的局限性，爱因斯坦将普朗克公式引入的量子论引入了比热容领域，以公式8（`E=（Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]
）代替公式4，则得到了量子化的固体比热容公式：
“如上所述，这里应当注意到下面一点。如果我们把固体中热的载体设想为周期振荡的结构，它的频率同它的振动能量无关，那么按照普朗克辐射理论，我们就不应当期望比热容总具有值5.94·n。相反，我们必须采用公式8：
`E=（3Rβv/N）/[e（βv）/（T）-1]
（注：公式8加入了三个自由度）。
因此，N个（注：即1摩尔）这样的基元结构的能量，用克-卡来计量，具有值：
5.94βv/[e（βv）/（T）-1]
那么，每一个以这样方式振荡的基元结构对摩尔热容所贡献的值为公式10：
[5.94·e（βv）/（T）·（βv/T）2]/[e（βv）/（T）-1]2
（注：根据比热容的定义dQ/dT，将5.94βv/[e（βv）/（T）-1]
对温度T求导就得出公式10。）
因此，当我们对出现在所考察的固态物质中的所有各类振荡的基元结构进行累加时，就得到摩尔热容的表达式公式10a：
c=5.94∑[e（βv）/（T）·（βv/T）2]/[e（βv）/（T）-1]2”
公式10a就是这篇论文理论推导部分的最终结论，也是量子论改造后的固体比热容理论公式。
转码声明：以上内容基于搜索引擎转码技术对网站内容进行转码阅读，自身不保存任何数据，请您支持正版