爱因斯坦69普朗克的辐射理论和比热容理论c量子比热公式应用
爱因斯坦69普朗克的辐射理论和比热容理论c量子比热公式应用
推导出量子论改造后的固体比热公式10a后，爱因斯坦就把这个公式做了应用示范。首先，爱因斯坦以公式10a为基础，做了横坐标为x=T/（βv）、纵坐标为固体比热容的曲线图（图1），并做了文字阐述：
“下图显示了公式10a作为x=T/（βv）的函数的值。当x=T/（βv）>0.9，基元结构对分子比热容的贡献值为5.94(这也是迄今一直被接受的分子运动论所得出的)没有显著的差别；如果v愈小，那么在温度更低的时候就已是这种情况了（注：情况1，传统比热容理论适用的范围）。
如果相反，x=T/（βv）<0.1，那么所说的基元结构对比热容没有显著的贡献（注：情况2，只有量子比热容理论才能解释的地方）。
在上述两种情况之间发生了公式10a的开始急剧而后又较缓慢的增长（注：情况3，传统比热容理论和量子比热容理论预测的中间地带，开始偏离传统比热容理论的预测，而符合量子比热容理论的预测）。”
图1量子化固体比热容曲线图
根据上面的量子化固体比热容曲线图和量子比热容公式10a，爱因斯坦对紫外线本征频率做了文字阐述：
“根据前面所述，首先可以得出：为了解释紫外线本征频率（注：频率v高、波长λ短），所设想的振荡电子在常温(T=300)下对比热容不可能有显著的贡献；因为不等式x=T/（βv）<0.1在T=300的情况下转化为不等式λ<4.8μm（注：即在紫外线的情况下，x=T/（βv）<0.1）。
与此相反，当基元结构满足λ>48μm时（注：此为红外线的情况下，x=T/（βv）>0.9），那么按照上面所述，必定得出，在常温时它对摩尔热容的贡献大概是5.94。”
接着，爱因斯坦对红外线本征频率也做了文字阐述：
“因为对于红外线本征频率，一般说来λ>4.8μm，那么，按照我们的理解，每一本征振荡都必然对比热容作出贡献，并且如果λ愈大，对比热容的贡献也就愈大。根据德鲁德的研究，具有这些本征频率的就是有质原子(原子离子)本身。因此，作为固体(绝缘体)中热的载体，首先应当考虑的只能是原子的正离子。（注：不久之后爱因斯坦对这两句话做了更正）”
最后，爱因斯坦讨论了温度T对固体比热容的影响，根据量子化固体比热容曲线图和量子比热容公式10a可知，温度T越低，即越靠近曲线左边，则固体比热容急剧下降：
“如果一个固体的红外线本征振荡频率v为已知，那么，根据上面所述，它的比热容以及由公式10a所表示的比热容对温度的相依关系因此都完全确定了（注：根据公式10a可以计算比热容和温度的关系）。
如果有关物质显示光学红外本征频率，即λ<48μm（注：虽属红外线，但波长不算太长、频率不算太低），那么，在常温时（注：温度不够高，很可能导致x=T/（βv）<0.1），必可期望比热容同关系式c=5.94·n有明显的偏离（注：这种情况属于量子化固体比热容曲线图偏左的部分，比热容偏低，不再属于c=5.94·n的传统比热容理论的适用范围）；在足够低的温度下，一切固体的比热容随着温度的下降而显著下降（注：偏低的温度T会导致x=T/（βv）<0.1）。
此外，杜隆-珀蒂定律定律（注：即c=5.94·n的传统比热容理论的适用范围）以及普遍规律c=5.94·n，对于一切固体在足够高的温度下必然成立，只要在这种情况下新的运动自由度(电子离子)丝毫也不显著（注：只要温度T够高，使得x=T/（βv）>0.9，则传统比热容理论完全可用，但前提是温度不要高到使得基元结构解体，那又是另一回事情了）。”
针对上面三种量子化固体比热容理论对紫外线本征频率、红外线本征频率以及温度对固体比热容影响的论述，爱因斯坦最后以一段话做了梳理和总结：
“上面所说的两种困难被新的理解消除了（注：即前文提到的有的原子比热容显著地小于5.94和分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5.94·n两种现象和观点、看法），并且我认为，这种理解大概在原则上是正确的。
当然，不应当设想它严格地符合于事实。固体在加热过程中经历了分子排列的变化(比如体积的变化)，这种变化同所含能量的变化相联系；一切导电的固体都含有对比热容作出贡献的自由运动的基元质点；无序的热振荡的频率或许就是这种基元结构的多少不同于光学过程中的本征振荡的频率（注：当温度过高影响了基元结构，甚至破坏了基元结构时，量子固体比热容理论公式10a也需要做修正，甚至废弃）。
但是，最后，认为所考察的基元结构具有同能量(温度)无关的振荡频率，这一假设无疑是不恰当的（注：基元结构的震荡频率与温度有关，而不是无关，即温度会影响基元结构的震荡频率）。”
利用公式10a对固体比热容做了上述总体的考察后，爱因斯坦又用公式10a计算了反常固体比热容，即小比热容元素的本征波长，以继续论证自己固体比热容量子化理论的正确性，其计算结果显示小比热容元素的本证波长都小于48μm，符合自己上述的总体考察结论，结果如下表所示：
表1小比热容元素的本证波长计算值
爱因斯坦对上述结果评论说：“我们注意到，一切具有反常的小原子热容量的元素也具有较小的原子量；按照我们的理解，这是可以预料到的，因为，假使其余情况均相同，小的原子量对应于大的振荡频率。（注：小波长的结果会导致x=T/（βv）<0.1，即波长λ越小，频率v越大，则会导致x=T/（βv）<0.1。）”
接着，爱因斯坦还拿公式10a计算了透明固体的红外本证震荡的波长λ，也基本符合自己上述本证波长小于48μm的物质其比热容较传统比热容理论偏低的论断，结果如下表所示：
表2透明固体的红外本证震荡的波长计算值
爱因斯坦自己对这个计算结果的陈述为：
“在第二个表中（注：即上表计算透明固体的红外本证震荡波长），NaCl和KCl只包含具有正常比热容的原子（注：因此其红外本证震荡的波长λ大于48μm）；它们的红外本征振荡的波长确实大于48μm（注：情况1，传统比热容理论能解释的）。
其余的物质包含具有真正反常的小比热容的原子(除了Ca)；实际上这些物质的本征频率在4.8μm和48μm之间（注：情况2，爱因斯坦此文提出的量子化比热容理论能解释的）。”
从计算中，爱因斯坦还发现透明固体红外本证震荡的波长的计算值大多数都大于观测值，对此，爱因斯坦认为是能量变化（注：即高温分子的热运动）影响了基元结构：
“根据理论从比热容算出的波长一般显著地大于观测到的波长。这种偏离也许可以从基元结构的频率能够随能量发生巨大的变化而得到解释。不管怎么样，第二个表中所列的观测到的λ同计算出来的λ的一致性，不管从相继顺序来说，还是从数量级上来说，都是十分引人注目的。”
以小比热容元素和透明固体的比热容数据验证了自己的量子化固体比热容理论后，在论文的最后，爱因斯坦利用公式10a对未知的金刚石红外本证频率做了理论预测。
将金刚石的实验数据温度T=331.3，比热容c=1.838代入公式10a，爱因斯坦算出金刚石红外本证频率λ为11.0μm。将其反代入公式10a或参照量子化固体比热容曲线图，爱因斯坦又给出了金刚石不同温度下的比热容理论值，如表三所示。
表3金刚石不同温度下的比热容理论值
（注：[33]为0.6638）
最后，爱因斯坦以强调金刚石红外本证频率量子化固体比热容理论的预测值结束了论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》：
“因此，根据这理论可以预料，金刚石在λ=11μm处，将显示最大的吸收。”
《物理学年鉴》于1906年11月9日收到了爱因斯坦这篇极大的推广了量子论应用范围的固体比热容理论论文，最终于1907年1月发表。
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推导出量子论改造后的固体比热公式10a后，爱因斯坦就把这个公式做了应用示范。首先，爱因斯坦以公式10a为基础，做了横坐标为x=T/（βv）、纵坐标为固体比热容的曲线图（图1），并做了文字阐述：
“下图显示了公式10a作为x=T/（βv）的函数的值。当x=T/（βv）>0.9，基元结构对分子比热容的贡献值为5.94(这也是迄今一直被接受的分子运动论所得出的)没有显著的差别；如果v愈小，那么在温度更低的时候就已是这种情况了（注：情况1，传统比热容理论适用的范围）。
如果相反，x=T/（βv）<0.1，那么所说的基元结构对比热容没有显著的贡献（注：情况2，只有量子比热容理论才能解释的地方）。
在上述两种情况之间发生了公式10a的开始急剧而后又较缓慢的增长（注：情况3，传统比热容理论和量子比热容理论预测的中间地带，开始偏离传统比热容理论的预测，而符合量子比热容理论的预测）。”
图1量子化固体比热容曲线图
根据上面的量子化固体比热容曲线图和量子比热容公式10a，爱因斯坦对紫外线本征频率做了文字阐述：
“根据前面所述，首先可以得出：为了解释紫外线本征频率（注：频率v高、波长λ短），所设想的振荡电子在常温(T=300)下对比热容不可能有显著的贡献；因为不等式x=T/（βv）<0.1在T=300的情况下转化为不等式λ<4.8μm（注：即在紫外线的情况下，x=T/（βv）<0.1）。
与此相反，当基元结构满足λ>48μm时（注：此为红外线的情况下，x=T/（βv）>0.9），那么按照上面所述，必定得出，在常温时它对摩尔热容的贡献大概是5.94。”
接着，爱因斯坦对红外线本征频率也做了文字阐述：
“因为对于红外线本征频率，一般说来λ>4.8μm，那么，按照我们的理解，每一本征振荡都必然对比热容作出贡献，并且如果λ愈大，对比热容的贡献也就愈大。根据德鲁德的研究，具有这些本征频率的就是有质原子(原子离子)本身。因此，作为固体(绝缘体)中热的载体，首先应当考虑的只能是原子的正离子。（注：不久之后爱因斯坦对这两句话做了更正）”
最后，爱因斯坦讨论了温度T对固体比热容的影响，根据量子化固体比热容曲线图和量子比热容公式10a可知，温度T越低，即越靠近曲线左边，则固体比热容急剧下降：
“如果一个固体的红外线本征振荡频率v为已知，那么，根据上面所述，它的比热容以及由公式10a所表示的比热容对温度的相依关系因此都完全确定了（注：根据公式10a可以计算比热容和温度的关系）。
如果有关物质显示光学红外本征频率，即λ<48μm（注：虽属红外线，但波长不算太长、频率不算太低），那么，在常温时（注：温度不够高，很可能导致x=T/（βv）<0.1），必可期望比热容同关系式c=5.94·n有明显的偏离（注：这种情况属于量子化固体比热容曲线图偏左的部分，比热容偏低，不再属于c=5.94·n的传统比热容理论的适用范围）；在足够低的温度下，一切固体的比热容随着温度的下降而显著下降（注：偏低的温度T会导致x=T/（βv）<0.1）。
此外，杜隆-珀蒂定律定律（注：即c=5.94·n的传统比热容理论的适用范围）以及普遍规律c=5.94·n，对于一切固体在足够高的温度下必然成立，只要在这种情况下新的运动自由度(电子离子)丝毫也不显著（注：只要温度T够高，使得x=T/（βv）>0.9，则传统比热容理论完全可用，但前提是温度不要高到使得基元结构解体，那又是另一回事情了）。”
针对上面三种量子化固体比热容理论对紫外线本征频率、红外线本征频率以及温度对固体比热容影响的论述，爱因斯坦最后以一段话做了梳理和总结：
“上面所说的两种困难被新的理解消除了（注：即前文提到的有的原子比热容显著地小于5.94和分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5.94·n两种现象和观点、看法），并且我认为，这种理解大概在原则上是正确的。
当然，不应当设想它严格地符合于事实。固体在加热过程中经历了分子排列的变化(比如体积的变化)，这种变化同所含能量的变化相联系；一切导电的固体都含有对比热容作出贡献的自由运动的基元质点；无序的热振荡的频率或许就是这种基元结构的多少不同于光学过程中的本征振荡的频率（注：当温度过高影响了基元结构，甚至破坏了基元结构时，量子固体比热容理论公式10a也需要做修正，甚至废弃）。
但是，最后，认为所考察的基元结构具有同能量(温度)无关的振荡频率，这一假设无疑是不恰当的（注：基元结构的震荡频率与温度有关，而不是无关，即温度会影响基元结构的震荡频率）。”
利用公式10a对固体比热容做了上述总体的考察后，爱因斯坦又用公式10a计算了反常固体比热容，即小比热容元素的本征波长，以继续论证自己固体比热容量子化理论的正确性，其计算结果显示小比热容元素的本证波长都小于48μm，符合自己上述的总体考察结论，结果如下表所示：
表1小比热容元素的本证波长计算值
爱因斯坦对上述结果评论说：“我们注意到，一切具有反常的小原子热容量的元素也具有较小的原子量；按照我们的理解，这是可以预料到的，因为，假使其余情况均相同，小的原子量对应于大的振荡频率。（注：小波长的结果会导致x=T/（βv）<0.1，即波长λ越小，频率v越大，则会导致x=T/（βv）<0.1。）”
接着，爱因斯坦还拿公式10a计算了透明固体的红外本证震荡的波长λ，也基本符合自己上述本证波长小于48μm的物质其比热容较传统比热容理论偏低的论断，结果如下表所示：
表2透明固体的红外本证震荡的波长计算值
爱因斯坦自己对这个计算结果的陈述为：
“在第二个表中（注：即上表计算透明固体的红外本证震荡波长），NaCl和KCl只包含具有正常比热容的原子（注：因此其红外本证震荡的波长λ大于48μm）；它们的红外本征振荡的波长确实大于48μm（注：情况1，传统比热容理论能解释的）。
其余的物质包含具有真正反常的小比热容的原子(除了Ca)；实际上这些物质的本征频率在4.8μm和48μm之间（注：情况2，爱因斯坦此文提出的量子化比热容理论能解释的）。”
从计算中，爱因斯坦还发现透明固体红外本证震荡的波长的计算值大多数都大于观测值，对此，爱因斯坦认为是能量变化（注：即高温分子的热运动）影响了基元结构：
“根据理论从比热容算出的波长一般显著地大于观测到的波长。这种偏离也许可以从基元结构的频率能够随能量发生巨大的变化而得到解释。不管怎么样，第二个表中所列的观测到的λ同计算出来的λ的一致性，不管从相继顺序来说，还是从数量级上来说，都是十分引人注目的。”
以小比热容元素和透明固体的比热容数据验证了自己的量子化固体比热容理论后，在论文的最后，爱因斯坦利用公式10a对未知的金刚石红外本证频率做了理论预测。
将金刚石的实验数据温度T=331.3，比热容c=1.838代入公式10a，爱因斯坦算出金刚石红外本证频率λ为11.0μm。将其反代入公式10a或参照量子化固体比热容曲线图，爱因斯坦又给出了金刚石不同温度下的比热容理论值，如表三所示。
表3金刚石不同温度下的比热容理论值
（注：[33]为0.6638）
最后，爱因斯坦以强调金刚石红外本证频率量子化固体比热容理论的预测值结束了论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》：
“因此，根据这理论可以预料，金刚石在λ=11μm处，将显示最大的吸收。”
《物理学年鉴》于1906年11月9日收到了爱因斯坦这篇极大的推广了量子论应用范围的固体比热容理论论文，最终于1907年1月发表。
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