爱因斯坦129由固体的弹性性能和比热双重推导红外本征波长10.11
爱因斯坦129由固体的弹性性能和比热双重推导红外本征波长10.11
第三篇论文为《单原子分子固体的弹性性能和比热之间的一种关系》，这篇论文从理论上分析计算了固体的弹性性能和红外本征频率的关系后，从固体弹性性能的实验数据中导出了固体红外本征频率数值；
之后，又借助固体比热容量子化理论中红外本征频率和固体比热容的关系计算了固体的红外本征频率；
上述两种思路导出的固体的红外本征频率结果两相对照的结果显示基本一致，也就粗略证明了固体的弹性性能和红外本征频率的确具有相关关系，并间接证明了固体比热容量子化理论的正确性。
论文首先指出爱因斯坦的同事、苏黎世大学法医学副教授海因里希·赞戈尔（HeinrichZangger，1874年-1957年）使自己注意到了萨瑟兰（Sutherland）的论文，其指出固体的弹性力就是把红外本征振动的载体拉回其静止位置并引起它们的本征频率的那种力，这也就是爱因斯坦本篇论文计算固体红外本征频率的思路一：
“我的同事赞戈尔教授使我注意到了新近由萨瑟兰发表的一篇重要的短文。萨瑟兰向他自己提出的问题是，固体的弹性力是否就是把红外本征振动的载体拉回其静止位置并引起它们的本征频率的那同一种力。
他发现这个问题的答案很可能应该是肯定的，其根据就是下述事实：红外本征频率和为了向物体内部发送其半波长等于物体中相邻分子间距的弹性横波而必须应用的频率具有相同的数量级。”
萨瑟兰关于固体的弹性性能和红外本征频率相关的构想很美好，但他受制于思路和能力所限，并没有给出两者之间严格的证明，只能给出粗略的数量级关系，而且其红外本征频率来自带电离子的振动，而弹性性能则来自分子的振动，两者的数据来源都属不同的，这更不严谨：
“尽管萨瑟兰的分析很重要，但是也很清楚，这种办法最多只能导致一种粗略的数量级关系，特别是因为，必须假设已知的各红外本征频率主要应看成一个分子中各电荷不同的离子之间的相对振动，而弹性振动则应看成各整个分子彼此之间的相对振动。”
作为理论物理学家的爱因斯坦对这一问题的解决当然有自己的韬略，他指出可以拿单原子分子的物质来理论分析固体的弹性性能和红外本征频率的关系，尤其美妙的是，传统的固体比热容理论在这一分析中还无用，而自己的固体比热容量子化理论却可以给出结果，一箭双雕的美事就此诞生，既论证了固体的弹性性能和红外本征频率的关系，又证明了固体比热容量子化理论的正确：
“因此，在我看来，萨瑟兰想法的一种更确切的检验只有对具有单原子分子的物质才是可能的；那种物质，按照经验和理论模型都并不显示在光学上可以探测的种类已知的本征振动。
然而，按照建筑在普朗克辐射理论上的我的比热容理论（注：1906年11月9日的固体比热容量子化论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》，见本作《爱因斯坦67》），根据比热容对温度的依赖关系来确定载热单原子物体的本征频率却是可能的。把这些频率和由弹性得来的频率相对比，就可以检验萨瑟兰的观念。”
论文的思路一，固体的弹性性能和红外本征频率关系的理论分析和计算依然以上一篇论文《对厄特沃什（Eötvös）定律的评述》中的中心分子周围有26个相邻分子为模型来计算。
为了计算简便还设定在静止时中心分子和相邻分子的距离相等，并将相邻分子分布在立方体表面改为分布在相同体积的球面上，如此一番设定下，则有方程1：
4/3·d3·π=8·υ/N
其中，d是26个分子分布的球面半径；υ是物质的分子体积；N是每克分子中的分子数，即阿伏伽德罗常数。
球心上的分子沿任意方向移动了一个距离x，则相邻26个分子反抗这一位移的力为方程2：
-26/4π·dk·a·x·cosq·cosq
其中，q是通过球心中心分子的轴线与位移x方向的夹角；dk是轴线周围的元立体角，其包括的分子数为26×（dk/4π）；a为分子斥力和分子位移的压缩系数。
方程2积分即为作用在球心位移分子上的力方程2a：
-26/3·ax
由此，分子的本征频率n和相应的真空波长l为方程3：
和（注：C错写为了e）
n=1/2π·√（26/3·a·N/M）和l=2πC√（3M/26aN）
其中，M是物质的分子量。
接下来则是通过对上述分子模型的力学分析来求出方程2和方程3中的分子斥力和分子位移的压缩系数a，并将其带入方程3来与实验数据相联系。
首先，使两个相邻分子之间的距离减小一个Δ所必须做的功是（a/2）Δ2，则按上述分子模型一个中心分子周围有26个相邻分子，所以，减小离这些相邻分子的距离所必须做的功就是26·（a/2）Δ2；
单位体积有N/υ个分子，而每一项（a/2）Δ2都属于两个分子，则属于单个分子的做功为½（a/2）Δ2，由此，均匀压缩所必须做的功A为方程4：
A=26/4·N/υ·a·Δ2
另一方面，均匀压缩所必须做的功A还可以表示为方程5：
A=½·k·Q2
其中，k是压缩率；Q是单位体积收缩率。
同时，单位体积收缩率Q=3Δ/d，将其代入方程5可得方程5a：
A=9Δ2/2kd2
联立方程4和方程5a，则压缩率k为方程6：
k=18υ/26ad2N
联立方程1和方程6可得26个分子分布的球面半径d和分子斥力和分子位移的压缩系数a，将其代入方程3即得分子的本征频率n和相应的真空波长l，其为方程3a：
l=2π/√6·（6/π）1/3·C/N1/3·M1/3·ρ1/6·√k=1.08·103·M1/3·ρ1/6·√k
将格律乃森（E.Grüneisen）测定的金属压缩率k实验数据代入公式3a即得金属的红外本征波长l（单位l×104），其为：
铝45，铜53，银73，金79，镍45，铁46，钯58，铂66，镉115，锡102，铅135，铋168。
至此论文的思路一完成了，其根据固体的弹性性能计算出了固体的红外本征波长，也就是理清了固体的弹性性能和红外本征频率的关系。
论文的思路二为借助固体比热容量子化理论中红外本征频率和固体比热容的关系计算固体的红外本征频率。
首先，根据1906年11月9日的固体比热容量子化论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》中的推导，固体的比热容为方程7：
C=3R·[e-a/T·（a/T）2/（e-a/T-1）2]
其中，C为克分子比热，即摩尔比热容；
a为hn/k=a=hc/kl，h是普朗克常数，k为玻尔兹曼常数，c为光速。
{
注：方程7即为《普朗克的辐射理论和比热容理论》中的公式，本作《爱因斯坦68》方程10a：
c=5.94∑[e（βv）/（T）·（βv/T）2]/[e（βv）/（T）-1]2
}
将能斯特测定出的银的比热容实验数据代如方程7，可得银的参数a=162和l×104=90，其与思路一得出的银的外红本征波长l×104=73密切符合：
“这种密切的符合确实是惊人的。萨瑟兰观念的一种更确切的检验，很可能只有通过固体的分子理论的完善才能实现。”
论文至此结束，爱因斯坦这篇论文通过理论分析单原子分子物质的固体弹性性能和红外本征频率的关系，并与固体比热容量子化理论给出的固体红外本征频率做对比，既论证了萨瑟兰构想的固体的弹性性能和红外本征频率的关系，又再次佐证了固体比热容量子化理论的正确。
上述三篇评论文章最终都于1910年12月30日在《物理学年鉴》发表。
第三篇论文为《单原子分子固体的弹性性能和比热之间的一种关系》，这篇论文从理论上分析计算了固体的弹性性能和红外本征频率的关系后，从固体弹性性能的实验数据中导出了固体红外本征频率数值；
之后，又借助固体比热容量子化理论中红外本征频率和固体比热容的关系计算了固体的红外本征频率；
上述两种思路导出的固体的红外本征频率结果两相对照的结果显示基本一致，也就粗略证明了固体的弹性性能和红外本征频率的确具有相关关系，并间接证明了固体比热容量子化理论的正确性。
论文首先指出爱因斯坦的同事、苏黎世大学法医学副教授海因里希·赞戈尔（HeinrichZangger，1874年-1957年）使自己注意到了萨瑟兰（Sutherland）的论文，其指出固体的弹性力就是把红外本征振动的载体拉回其静止位置并引起它们的本征频率的那种力，这也就是爱因斯坦本篇论文计算固体红外本征频率的思路一：
“我的同事赞戈尔教授使我注意到了新近由萨瑟兰发表的一篇重要的短文。萨瑟兰向他自己提出的问题是，固体的弹性力是否就是把红外本征振动的载体拉回其静止位置并引起它们的本征频率的那同一种力。
他发现这个问题的答案很可能应该是肯定的，其根据就是下述事实：红外本征频率和为了向物体内部发送其半波长等于物体中相邻分子间距的弹性横波而必须应用的频率具有相同的数量级。”
萨瑟兰关于固体的弹性性能和红外本征频率相关的构想很美好，但他受制于思路和能力所限，并没有给出两者之间严格的证明，只能给出粗略的数量级关系，而且其红外本征频率来自带电离子的振动，而弹性性能则来自分子的振动，两者的数据来源都属不同的，这更不严谨：
“尽管萨瑟兰的分析很重要，但是也很清楚，这种办法最多只能导致一种粗略的数量级关系，特别是因为，必须假设已知的各红外本征频率主要应看成一个分子中各电荷不同的离子之间的相对振动，而弹性振动则应看成各整个分子彼此之间的相对振动。”
作为理论物理学家的爱因斯坦对这一问题的解决当然有自己的韬略，他指出可以拿单原子分子的物质来理论分析固体的弹性性能和红外本征频率的关系，尤其美妙的是，传统的固体比热容理论在这一分析中还无用，而自己的固体比热容量子化理论却可以给出结果，一箭双雕的美事就此诞生，既论证了固体的弹性性能和红外本征频率的关系，又证明了固体比热容量子化理论的正确：
“因此，在我看来，萨瑟兰想法的一种更确切的检验只有对具有单原子分子的物质才是可能的；那种物质，按照经验和理论模型都并不显示在光学上可以探测的种类已知的本征振动。
然而，按照建筑在普朗克辐射理论上的我的比热容理论（注：1906年11月9日的固体比热容量子化论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》，见本作《爱因斯坦67》），根据比热容对温度的依赖关系来确定载热单原子物体的本征频率却是可能的。把这些频率和由弹性得来的频率相对比，就可以检验萨瑟兰的观念。”
论文的思路一，固体的弹性性能和红外本征频率关系的理论分析和计算依然以上一篇论文《对厄特沃什（Eötvös）定律的评述》中的中心分子周围有26个相邻分子为模型来计算。
为了计算简便还设定在静止时中心分子和相邻分子的距离相等，并将相邻分子分布在立方体表面改为分布在相同体积的球面上，如此一番设定下，则有方程1：
4/3·d3·π=8·υ/N
其中，d是26个分子分布的球面半径；υ是物质的分子体积；N是每克分子中的分子数，即阿伏伽德罗常数。
球心上的分子沿任意方向移动了一个距离x，则相邻26个分子反抗这一位移的力为方程2：
-26/4π·dk·a·x·cosq·cosq
其中，q是通过球心中心分子的轴线与位移x方向的夹角；dk是轴线周围的元立体角，其包括的分子数为26×（dk/4π）；a为分子斥力和分子位移的压缩系数。
方程2积分即为作用在球心位移分子上的力方程2a：
-26/3·ax
由此，分子的本征频率n和相应的真空波长l为方程3：
和（注：C错写为了e）
n=1/2π·√（26/3·a·N/M）和l=2πC√（3M/26aN）
其中，M是物质的分子量。
接下来则是通过对上述分子模型的力学分析来求出方程2和方程3中的分子斥力和分子位移的压缩系数a，并将其带入方程3来与实验数据相联系。
首先，使两个相邻分子之间的距离减小一个Δ所必须做的功是（a/2）Δ2，则按上述分子模型一个中心分子周围有26个相邻分子，所以，减小离这些相邻分子的距离所必须做的功就是26·（a/2）Δ2；
单位体积有N/υ个分子，而每一项（a/2）Δ2都属于两个分子，则属于单个分子的做功为½（a/2）Δ2，由此，均匀压缩所必须做的功A为方程4：
A=26/4·N/υ·a·Δ2
另一方面，均匀压缩所必须做的功A还可以表示为方程5：
A=½·k·Q2
其中，k是压缩率；Q是单位体积收缩率。
同时，单位体积收缩率Q=3Δ/d，将其代入方程5可得方程5a：
A=9Δ2/2kd2
联立方程4和方程5a，则压缩率k为方程6：
k=18υ/26ad2N
联立方程1和方程6可得26个分子分布的球面半径d和分子斥力和分子位移的压缩系数a，将其代入方程3即得分子的本征频率n和相应的真空波长l，其为方程3a：
l=2π/√6·（6/π）1/3·C/N1/3·M1/3·ρ1/6·√k=1.08·103·M1/3·ρ1/6·√k
将格律乃森（E.Grüneisen）测定的金属压缩率k实验数据代入公式3a即得金属的红外本征波长l（单位l×104），其为：
铝45，铜53，银73，金79，镍45，铁46，钯58，铂66，镉115，锡102，铅135，铋168。
至此论文的思路一完成了，其根据固体的弹性性能计算出了固体的红外本征波长，也就是理清了固体的弹性性能和红外本征频率的关系。
论文的思路二为借助固体比热容量子化理论中红外本征频率和固体比热容的关系计算固体的红外本征频率。
首先，根据1906年11月9日的固体比热容量子化论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》中的推导，固体的比热容为方程7：
C=3R·[e-a/T·（a/T）2/（e-a/T-1）2]
其中，C为克分子比热，即摩尔比热容；
a为hn/k=a=hc/kl，h是普朗克常数，k为玻尔兹曼常数，c为光速。
{
注：方程7即为《普朗克的辐射理论和比热容理论》中的公式，本作《爱因斯坦68》方程10a：
c=5.94∑[e（βv）/（T）·（βv/T）2]/[e（βv）/（T）-1]2
}
将能斯特测定出的银的比热容实验数据代如方程7，可得银的参数a=162和l×104=90，其与思路一得出的银的外红本征波长l×104=73密切符合：
“这种密切的符合确实是惊人的。萨瑟兰观念的一种更确切的检验，很可能只有通过固体的分子理论的完善才能实现。”
论文至此结束，爱因斯坦这篇论文通过理论分析单原子分子物质的固体弹性性能和红外本征频率的关系，并与固体比热容量子化理论给出的固体红外本征频率做对比，既论证了萨瑟兰构想的固体的弹性性能和红外本征频率的关系，又再次佐证了固体比热容量子化理论的正确。
上述三篇评论文章最终都于1910年12月30日在《物理学年鉴》发表。
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