爱因斯坦38博士论文《分子大小的新测定法》第1部分
爱因斯坦38《分子大小的新测定法》第1部分1905.4.30
投稿光量子论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》不久，4月30日，信心爆棚的阿尔伯特·爱因斯坦完成了一篇准备向苏黎世大学提交的博士论文，题为《分子大小的新测定法》。这篇博士论文的投稿打破了爱因斯坦在信中的一个埋怨和一个承诺。
一个埋怨是1903年1月22日在给好友米歇尔·贝索的信中爱因斯坦埋怨道：“最近我已经决定，如果有机会的话，我就去当编外讲师。另外，我不打算去读博士学位了，因为它对我帮助不大，整个这场喜剧（注：爱因斯坦认为博导克莱纳教授碍于玻尔兹曼的关系拒绝爱因斯坦的博士论文，豪无公正可言）已经令人感到无聊了。”
一个承诺则是1903年3月17日在给米歇尔·贝索的信中爱因斯坦承诺把计算离子大小的光辉课题送给贝索：“你是否已经根据离子是球体并且它们大到足以允许应用粘滞液体的流体力学方程这一假设，计算出了离子的绝对大小？如果我们知道电子的绝对大小，这当然就是个简单的问题了。这件事本来应该由我自己来做，可是我既没有必需的文献也没有时间做这件事；你也可以利用扩散来对溶液中的中性盐分子有所了解。如果你不了解我的想法，我很愿意把它详细地写下来给你。”
现在爱因斯坦通过向苏黎世大学提交博士学位论文《分子大小的新测定法》，自己打破了埋怨，准备申请博士学位；也打破了承诺，论文的思路就是爱因斯坦信中给贝索提示的计算离子大小的思路。
自1902年2月1日爱因斯坦首次撤回以苏黎世大学阿尔弗雷德·克莱纳教授为导师的博士学位论文已经过去了3年多，现在1905年4月，已有伯尔尼专利局铁饭碗近3年的爱因斯坦又再次向博士学位发起了冲击，这次他研究的论题是分子大小的测定，思路与1903年3月17日给米歇尔·贝索信中提示的计算离子大小的思路一致，计算分子大小依据：一是“应用粘滞液体的流体力学方程”，二是“利用扩散来对溶液中的中性盐分子有所了解”。两者结合，联立方程组，就可以得出分子大小的有用数据。
在博士学位论文《分子大小的新测定法》起始的研究背景和研究目的部分，爱因斯坦很个性，基本没有引用别人的研究介绍，只是一段简短的文字说明，是没受过专业物理学、化学和数学训练的人能大体看懂的。
首先，爱因斯坦以两句话概括了论文的研究背景和目的，研究背景是人们已经通过气体分子运动论测定了分子大小，而液体分子运动论还没有用来测定分子大小，因此，本博士学位论文的研究目的就是用液体分子运动论测定分子大小：“气体分子运动论使测定分子实际大小的最早办法成为可能，可是液体中观测到的物理现象直到目前还没有用来计算分子的大小。其原因无疑在于迄今为止还有未能逾越的困难，这些困难妨碍了液体分子运动论伸向细节的发展。”
接着，爱因斯坦简述了自己利用液体分子运动论测定分子大小的思路：“现在这篇论文中将说明：不离解的稀溶液中溶质的分子大小，可以从溶液和纯溶剂的内摩擦以及从溶质在溶剂里面的扩散(率)求出来，只要一个溶质分子的体积大于一个溶剂分子的体积就行了。因为这样一个溶质分子的性状，就它在溶剂中的动性来说以及它对于溶剂的内摩擦的影响来说都近似于一个悬浮在溶剂中的固体，于是流体动力学方程可以用于分子贴邻的溶剂的运动，在这里，液体被认为是均匀的，从而可以不考虑它的分子结构。关于那些可以代表溶质分子的固体的形状，我们则选取球形的。”
在上述研究思路部分，爱因斯坦提了4点：
1、不离解稀溶液中溶质的分子大小可以通过两个途径来求解，a为计算溶液和纯溶剂的内摩擦，b为计算溶质在溶剂里面的扩散率；
2、对求解的溶质做了3个限定：不离解、稀溶液、溶质分子的体积大于溶剂分子；
3、将溶剂在稀溶液中的状况类比于悬浮在溶剂中的固体来研究计算；
4、假定液体是均匀的，溶质分子为球形。
以上是非专业人士大多能看懂的部分，下面正文部分就比较数学化了，大多人看不懂。
论文《分子大小的新测定法》正文分五部分，第一部分题为《悬浮在液体中很小的球对于液体运动的影响》，以“一具有摩擦系数κ的均匀的不可压缩液体作为我们讨论的对象，它的速度分量u，υ，w规定为坐标x，y，z和时间的函数。”这一句的意思是以坐标x，y，z和时间来描述液体的速度。
然后，取一任意点x0，y0，z0，围绕这个点划出一个小的区域G，容纳在G里面的液体运动以三种运动的迭加来描述：
1、所有液体粒子不变更其相对位置的平行位移。
2、不变更液体粒子相对位置的液体的转动。
3、在三个相互垂直的方向(膨胀主轴)上的膨胀运动。
论文的目的是研究分子的大小，因此，设定在区域G里的中心点x0，y0，z0处有一个球形刚体，它的大小相对于区域G的大小来说非常之小：
“我们要进一步假定：所考查的这个运动是这样缓慢，以致球的动能以及液体的动能都可以忽略不计。还要进一步假定：球的一个面元素的速度分量同贴邻的液体粒子的速度对应分量是一致的，也就是说，接触层(设想是连续的)无论在哪里都显示一个有限的内摩擦系数。”
以上就是本部分的研究条件设定，之后，爱因斯坦根据条件设定剔除了上述三种运动中的两种：“用不着作进一步讨论就明白：这个球要是不改变附近液体的运动，它就只分担1和2这两个部分运动，因为在这两部分运动中，液体都像刚体一样运动；这样我们就忽略了惯性的作用。
但是球的存在会改变运动3，而我们下一个任务就是要研究球对于液体这种运动的影响。”
为了研究运动3，爱因斯坦把运动3参照于轴都是同膨胀主轴平行的一个坐标系，并设定如下坐标表示：
x-x0=ξ，
y-y0=η，
z-z0=ζ。
在球不存在的情况下，液体运动用方程1来表示：
u0=Aξ，
υ0=Bη，
w0=Cζ。
其中A、B、C都是常数，由于设定液体具有不可压缩性的性质，因此A+B+C=0。
在坐标点x0，y0，z0处存在刚性球P（注：也就是要求解的分子）的情况下，液体运动用方程2来表示：
u=Aξ+u1，
υ=Bη+υ1，
w=Cζ+w1。
u1，υ1，w1是刚性球P引起的附近液体运动的改变，在无限远的区域内，其值为0，即无限远处刚性球P已经不再引起液体运动的改变。
论述完上面的运动方程设定后，爱因斯坦就直接引用了液体的速度函数u，υ，w必定满足的流体动力学方程（注：德国物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫的《力学讲义》），此为公式3，包含两个方程（也是业余人士开始看不懂的地方）：
δp/δξ=k△u（δp/δη）=k△υ（δp/δζ）=k△w，
δu/δξ+δυ/δη+δw/δζ=0。
其中，△代表算符：δ2/δξ2+δ2/δη2+δ2/δζ2，p代表流体静压力，k是液体的内摩擦系数。
《爱因斯坦全集》注解在此说道：“这一行的最后一个方程的右边少了一个因子k，这个错误在《爱因斯坦1906a》中已经改正。”
根据基尔霍夫《力学讲义》中提出的方法，爱因斯坦对公式3做了计算，并得出了液体的静压力p和速度u，υ，w，结果为公式4，包含四个方程：
p=(-5kP3)/3·[Aδ2(1/ρ)/δξ2+Bδ2(1/ρ)/δη2+Cδ2(1/ρ)/δζ2]+常数，
u=Aξ-(5AP3)ξ/ρ3-δD/δξ，
υ=Bη-(5BP3)η/ρ3-δD/δη，
w=Cζ-(5CP3)ζ/ρ3-δD/δζ。
《爱因斯坦全集》注解16在此说道：“方括号中最后一项的分子应该是δ2(1/ρ)，《爱因斯坦1906a》已改正。”
其中，参数D为：
D=A[(5P3/6)δ2ρ/δξ2+(P5/6)δ2(1/ρ)/δξ2]+B[(5P3/6)δ2ρ/δη2+(P5/6)δ2(1/ρ)/δη2]+C[(5P3/6)δ2ρ/δζ2+(P5/6)δ2(1/ρ)/δζ2]
论文中，爱因斯坦对公式4又做了一番解释和推导论证，也比较数学化，对论文整体的思路影响不大，故此处不再提及，公式4的意义就是爱因斯坦根据自己对研究论题的设定条件和基尔霍夫《力学讲义》中提出的流体动力学方程给出了液体的静压力p和速度u，υ，w的计算公式，为后面的理论推导做了一定的准备工作。
接着，爱因斯坦又从能量角度对设定的液体运动做了推导，设定在坐标点x0，y0，z0处安放一个半径比刚性球P无限大的球R（其实是划定了一定范围的液体），目的则是计算出球里面的液体中每单位时间转变为热的能量W。至于为什么算这个，其实还是为了从不同的角度推导出微观与宏观联系的参数，以便联立方程组，由宏观实验数据求出微观未知参数。
爱因斯坦在论文中论证说球里面的液体中每单位时间转变为热的能量W等于对球里面的液体所做的机械功，设作用在半径为R的球面上的压力分量为Xn，Yn，Zn，则热量W由公式5决定：
W=∫(Xn·u+Yn·υ+Zn·w)ds
其中，积分的范围遍及半径为R的整个球面。公式5还包含下面9个分方程：
Xn=-（Xξξ/ρ+Xηη/ρ+Xζζ/ρ），
Yn=-（Yξξ/ρ+Yηη/ρ+Yζζ/ρ），
Zn=-（Zξξ/ρ+Zηη/ρ+Zζζ/ρ），
Xξ=p-2kδu/δξ，Yζ=Zη=-k（δυ/δζ+δw/δη），
Yη=p-2kδυ/δη，Zξ=Xζ=-k（δw/δξ+δu/δζ），
Zζ=p-2kδw/δζ，Xη=Yξ=-k（δu/δη+δυ/δξ）。
《爱因斯坦全集》注解21在此说道：
将公式4的液体的静压力p和速度u，υ，w代入公式5，并经过一定的简化处理和复杂的数学运算，则算出了热量W的表达式，得到公式6：
W=（8πR3kδ2）/3-（4πP3kδ2）/3=2δ2k（V-Ф/2）
其中，
δ2=A2+B2+C2，
（4πR3）/3=V，
（4πP3）/3=Ф
V是划定的半径为R的液体体积，φ是悬浮球P所占的体积。
《爱因斯坦全集》注解31在此说道这个方程应该是：
《爱因斯坦全集》注解32说道：
这些注解的意思是爱因斯坦最初提交并发表的博士学位论文有几处计算错误，当然，并不影响论文整体的研究思路，但最终给出的计算结果与正确结果有偏差，后来论文中的几处错误几经修正下才被改正彻底，得出了更准确的计算结果。
公式6就是论文第一部分得出的最后结果，结论是通过热量W将一定范围的液体（即溶液）体积与悬浮球（即单个溶质）体积联系了起来，为后面的更复杂的多溶质的处理，以及微观与宏观的联系做了准备工作。
投稿光量子论文《关于光的产生和转化的一个试探性的观点》不久，4月30日，信心爆棚的阿尔伯特·爱因斯坦完成了一篇准备向苏黎世大学提交的博士论文，题为《分子大小的新测定法》。这篇博士论文的投稿打破了爱因斯坦在信中的一个埋怨和一个承诺。
一个埋怨是1903年1月22日在给好友米歇尔·贝索的信中爱因斯坦埋怨道：“最近我已经决定，如果有机会的话，我就去当编外讲师。另外，我不打算去读博士学位了，因为它对我帮助不大，整个这场喜剧（注：爱因斯坦认为博导克莱纳教授碍于玻尔兹曼的关系拒绝爱因斯坦的博士论文，豪无公正可言）已经令人感到无聊了。”
一个承诺则是1903年3月17日在给米歇尔·贝索的信中爱因斯坦承诺把计算离子大小的光辉课题送给贝索：“你是否已经根据离子是球体并且它们大到足以允许应用粘滞液体的流体力学方程这一假设，计算出了离子的绝对大小？如果我们知道电子的绝对大小，这当然就是个简单的问题了。这件事本来应该由我自己来做，可是我既没有必需的文献也没有时间做这件事；你也可以利用扩散来对溶液中的中性盐分子有所了解。如果你不了解我的想法，我很愿意把它详细地写下来给你。”
现在爱因斯坦通过向苏黎世大学提交博士学位论文《分子大小的新测定法》，自己打破了埋怨，准备申请博士学位；也打破了承诺，论文的思路就是爱因斯坦信中给贝索提示的计算离子大小的思路。
自1902年2月1日爱因斯坦首次撤回以苏黎世大学阿尔弗雷德·克莱纳教授为导师的博士学位论文已经过去了3年多，现在1905年4月，已有伯尔尼专利局铁饭碗近3年的爱因斯坦又再次向博士学位发起了冲击，这次他研究的论题是分子大小的测定，思路与1903年3月17日给米歇尔·贝索信中提示的计算离子大小的思路一致，计算分子大小依据：一是“应用粘滞液体的流体力学方程”，二是“利用扩散来对溶液中的中性盐分子有所了解”。两者结合，联立方程组，就可以得出分子大小的有用数据。
在博士学位论文《分子大小的新测定法》起始的研究背景和研究目的部分，爱因斯坦很个性，基本没有引用别人的研究介绍，只是一段简短的文字说明，是没受过专业物理学、化学和数学训练的人能大体看懂的。
首先，爱因斯坦以两句话概括了论文的研究背景和目的，研究背景是人们已经通过气体分子运动论测定了分子大小，而液体分子运动论还没有用来测定分子大小，因此，本博士学位论文的研究目的就是用液体分子运动论测定分子大小：“气体分子运动论使测定分子实际大小的最早办法成为可能，可是液体中观测到的物理现象直到目前还没有用来计算分子的大小。其原因无疑在于迄今为止还有未能逾越的困难，这些困难妨碍了液体分子运动论伸向细节的发展。”
接着，爱因斯坦简述了自己利用液体分子运动论测定分子大小的思路：“现在这篇论文中将说明：不离解的稀溶液中溶质的分子大小，可以从溶液和纯溶剂的内摩擦以及从溶质在溶剂里面的扩散(率)求出来，只要一个溶质分子的体积大于一个溶剂分子的体积就行了。因为这样一个溶质分子的性状，就它在溶剂中的动性来说以及它对于溶剂的内摩擦的影响来说都近似于一个悬浮在溶剂中的固体，于是流体动力学方程可以用于分子贴邻的溶剂的运动，在这里，液体被认为是均匀的，从而可以不考虑它的分子结构。关于那些可以代表溶质分子的固体的形状，我们则选取球形的。”
在上述研究思路部分，爱因斯坦提了4点：
1、不离解稀溶液中溶质的分子大小可以通过两个途径来求解，a为计算溶液和纯溶剂的内摩擦，b为计算溶质在溶剂里面的扩散率；
2、对求解的溶质做了3个限定：不离解、稀溶液、溶质分子的体积大于溶剂分子；
3、将溶剂在稀溶液中的状况类比于悬浮在溶剂中的固体来研究计算；
4、假定液体是均匀的，溶质分子为球形。
以上是非专业人士大多能看懂的部分，下面正文部分就比较数学化了，大多人看不懂。
论文《分子大小的新测定法》正文分五部分，第一部分题为《悬浮在液体中很小的球对于液体运动的影响》，以“一具有摩擦系数κ的均匀的不可压缩液体作为我们讨论的对象，它的速度分量u，υ，w规定为坐标x，y，z和时间的函数。”这一句的意思是以坐标x，y，z和时间来描述液体的速度。
然后，取一任意点x0，y0，z0，围绕这个点划出一个小的区域G，容纳在G里面的液体运动以三种运动的迭加来描述：
1、所有液体粒子不变更其相对位置的平行位移。
2、不变更液体粒子相对位置的液体的转动。
3、在三个相互垂直的方向(膨胀主轴)上的膨胀运动。
论文的目的是研究分子的大小，因此，设定在区域G里的中心点x0，y0，z0处有一个球形刚体，它的大小相对于区域G的大小来说非常之小：
“我们要进一步假定：所考查的这个运动是这样缓慢，以致球的动能以及液体的动能都可以忽略不计。还要进一步假定：球的一个面元素的速度分量同贴邻的液体粒子的速度对应分量是一致的，也就是说，接触层(设想是连续的)无论在哪里都显示一个有限的内摩擦系数。”
以上就是本部分的研究条件设定，之后，爱因斯坦根据条件设定剔除了上述三种运动中的两种：“用不着作进一步讨论就明白：这个球要是不改变附近液体的运动，它就只分担1和2这两个部分运动，因为在这两部分运动中，液体都像刚体一样运动；这样我们就忽略了惯性的作用。
但是球的存在会改变运动3，而我们下一个任务就是要研究球对于液体这种运动的影响。”
为了研究运动3，爱因斯坦把运动3参照于轴都是同膨胀主轴平行的一个坐标系，并设定如下坐标表示：
x-x0=ξ，
y-y0=η，
z-z0=ζ。
在球不存在的情况下，液体运动用方程1来表示：
u0=Aξ，
υ0=Bη，
w0=Cζ。
其中A、B、C都是常数，由于设定液体具有不可压缩性的性质，因此A+B+C=0。
在坐标点x0，y0，z0处存在刚性球P（注：也就是要求解的分子）的情况下，液体运动用方程2来表示：
u=Aξ+u1，
υ=Bη+υ1，
w=Cζ+w1。
u1，υ1，w1是刚性球P引起的附近液体运动的改变，在无限远的区域内，其值为0，即无限远处刚性球P已经不再引起液体运动的改变。
论述完上面的运动方程设定后，爱因斯坦就直接引用了液体的速度函数u，υ，w必定满足的流体动力学方程（注：德国物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫的《力学讲义》），此为公式3，包含两个方程（也是业余人士开始看不懂的地方）：
δp/δξ=k△u（δp/δη）=k△υ（δp/δζ）=k△w，
δu/δξ+δυ/δη+δw/δζ=0。
其中，△代表算符：δ2/δξ2+δ2/δη2+δ2/δζ2，p代表流体静压力，k是液体的内摩擦系数。
《爱因斯坦全集》注解在此说道：“这一行的最后一个方程的右边少了一个因子k，这个错误在《爱因斯坦1906a》中已经改正。”
根据基尔霍夫《力学讲义》中提出的方法，爱因斯坦对公式3做了计算，并得出了液体的静压力p和速度u，υ，w，结果为公式4，包含四个方程：
p=(-5kP3)/3·[Aδ2(1/ρ)/δξ2+Bδ2(1/ρ)/δη2+Cδ2(1/ρ)/δζ2]+常数，
u=Aξ-(5AP3)ξ/ρ3-δD/δξ，
υ=Bη-(5BP3)η/ρ3-δD/δη，
w=Cζ-(5CP3)ζ/ρ3-δD/δζ。
《爱因斯坦全集》注解16在此说道：“方括号中最后一项的分子应该是δ2(1/ρ)，《爱因斯坦1906a》已改正。”
其中，参数D为：
D=A[(5P3/6)δ2ρ/δξ2+(P5/6)δ2(1/ρ)/δξ2]+B[(5P3/6)δ2ρ/δη2+(P5/6)δ2(1/ρ)/δη2]+C[(5P3/6)δ2ρ/δζ2+(P5/6)δ2(1/ρ)/δζ2]
论文中，爱因斯坦对公式4又做了一番解释和推导论证，也比较数学化，对论文整体的思路影响不大，故此处不再提及，公式4的意义就是爱因斯坦根据自己对研究论题的设定条件和基尔霍夫《力学讲义》中提出的流体动力学方程给出了液体的静压力p和速度u，υ，w的计算公式，为后面的理论推导做了一定的准备工作。
接着，爱因斯坦又从能量角度对设定的液体运动做了推导，设定在坐标点x0，y0，z0处安放一个半径比刚性球P无限大的球R（其实是划定了一定范围的液体），目的则是计算出球里面的液体中每单位时间转变为热的能量W。至于为什么算这个，其实还是为了从不同的角度推导出微观与宏观联系的参数，以便联立方程组，由宏观实验数据求出微观未知参数。
爱因斯坦在论文中论证说球里面的液体中每单位时间转变为热的能量W等于对球里面的液体所做的机械功，设作用在半径为R的球面上的压力分量为Xn，Yn，Zn，则热量W由公式5决定：
W=∫(Xn·u+Yn·υ+Zn·w)ds
其中，积分的范围遍及半径为R的整个球面。公式5还包含下面9个分方程：
Xn=-（Xξξ/ρ+Xηη/ρ+Xζζ/ρ），
Yn=-（Yξξ/ρ+Yηη/ρ+Yζζ/ρ），
Zn=-（Zξξ/ρ+Zηη/ρ+Zζζ/ρ），
Xξ=p-2kδu/δξ，Yζ=Zη=-k（δυ/δζ+δw/δη），
Yη=p-2kδυ/δη，Zξ=Xζ=-k（δw/δξ+δu/δζ），
Zζ=p-2kδw/δζ，Xη=Yξ=-k（δu/δη+δυ/δξ）。
《爱因斯坦全集》注解21在此说道：
将公式4的液体的静压力p和速度u，υ，w代入公式5，并经过一定的简化处理和复杂的数学运算，则算出了热量W的表达式，得到公式6：
W=（8πR3kδ2）/3-（4πP3kδ2）/3=2δ2k（V-Ф/2）
其中，
δ2=A2+B2+C2，
（4πR3）/3=V，
（4πP3）/3=Ф
V是划定的半径为R的液体体积，φ是悬浮球P所占的体积。
《爱因斯坦全集》注解31在此说道这个方程应该是：
《爱因斯坦全集》注解32说道：
这些注解的意思是爱因斯坦最初提交并发表的博士学位论文有几处计算错误，当然，并不影响论文整体的研究思路，但最终给出的计算结果与正确结果有偏差，后来论文中的几处错误几经修正下才被改正彻底，得出了更准确的计算结果。
公式6就是论文第一部分得出的最后结果，结论是通过热量W将一定范围的液体（即溶液）体积与悬浮球（即单个溶质）体积联系了起来，为后面的更复杂的多溶质的处理，以及微观与宏观的联系做了准备工作。
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